Esperanza matemática

En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria $X$, es el número $\mathbb {E} [X]$ o ${\text{E}}[X]$ que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Es un concepto análogo a la media aritmética de un conjunto de datos.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad promedio que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra (el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible).

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}$

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al tirar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta francesa tiene 37 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 37 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

$\left(-1\cdot {\frac {36}{37}}\right)+\left(35\cdot {\frac {1}{37}}\right)$

que es aproximadamente -0,027027. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 2,7 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.97273 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".

Nota: El primer término es la "esperanza" de perder la apuesta de 1€, por eso el valor es negativo. El segundo término es la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

Definición

Caso Discreto

Para una variable aleatoria discreta $X$ con función de probabilidad $P[X=x_{i}]$ con $i=1,2,\dots ,n$ la esperanza se define como

$\operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{n}x_{i}P[X=x_{i}]\,\!$

Caso Continuo

Para una variable aleatoria continua $X$ con función de densidad $f(x)\,\!$ la esperanza se define como

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\,\!$

Caso General

La definición general de esperanza de una variable aleatoria o función medible $X$ se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define mediante una integral más general llamada integral de Lebesgue y se denota por

$\operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )dP(\omega )\,\!$

La esperanza también se suele simbolizar con $\mu =\operatorname {E} [X]$.

Las esperanzas $\operatorname {E} [X^{k}]$ para $k=0,1,2...\,\!$ se llaman momentos de orden $k\,\!$. Más importantes son los momentos centrados $\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{k}]$.

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.

Propiedades

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias con esperanza finita y $a,b,c\in \mathbb {R}$ son constantes entonces

1. $\operatorname {E} [c]=c$.
2. $\operatorname {E} [cX]=c\operatorname {E} [X]$.
3. Si $X\geq 0$ entonces $\operatorname {E} [X]\geq 0$.
4. Si $X\leq Y$ entonces $\operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y]$.
5. Si $X$ está delimitada por dos números reales, $a$ y $b$, esto es $a<X<b$ entonces también lo está su media, es decir, $a<\operatorname {E} [X]<b$.
6. Si $Y=a+bX$, entonces $\operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [a+bX]=a+b\operatorname {E} [X]$.
7. En general, $\operatorname {E} [XY]\neq \operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]$, la igualdad sólo se cumple cuando las variables aleatorias son independientes.

Linealidad

El operador esperanza $\operatorname {E} [\cdot ]$ es un operador lineal en el sentido de que para cualesquiera variables aleatorias $X$ y $Y$ y cualquier $c\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y]\\\operatorname {E} [cX]&=c\operatorname {E} [X]\end{aligned}}$

Demostrar este resultado es sencillo, si consideramos que $X$ y $Y$ son variable aleatorias discretas entonces

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\sum _{x,y}(x+y)\operatorname {P} [X=x,Y=y]\\&=\sum _{x,y}x\operatorname {P} [X=x,Y=y]+\sum _{x,y}y\operatorname {P} [X=x,Y=y]\\&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} [X=x,Y=y]+\sum _{y}y\sum _{x}\operatorname {P} [X=x,Y=y]\\&=\sum _{x}x\operatorname {P} [X=x]+\sum _{y}y\operatorname {P} [Y=y]\\&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y]\end{aligned}}$

Independencia

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes entonces

$\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]$

La demostración de este resultado es muy sencilla, sólo hay que considerar el concepto de independencia, el resultado se demuestra sólo para el caso discreto (la demostración del caso continuo es análoga)

${\begin{aligned}\operatorname {E} [XY]&=\sum _{x}\sum _{y}xy\operatorname {P} [X=x,Y=y]\\&=\sum _{x}\sum _{y}xy\operatorname {P} [X=x]\operatorname {P} [Y=y]\\&=\sum _{x}x\operatorname {P} [X=x]\sum _{y}y\operatorname {P} [Y=y]\\&=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]\end{aligned}}$

Véase también

• Varianza
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

• Datos: Q200125