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Vector unitario

vector de módulo uno

En álgebra lineal y física, un vector unitario o versor es un vector de módulo uno. En ocasiones se le llama también vector normalizado.

Índice

NotaciónEditar

Un vector unitario se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como   (se lee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una breve ( ) también es común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual es representar el vector en la dirección del vector   en la forma  .

Definición formalEditar

Sea el vector v ∈ ℝn. Se dice que v es un vector unitario y se denota mediante   si y solamente si el módulo de v es igual a 1.

O en forma más compacta:[cita requerida]

 

Vector asociado a un vectorEditar

Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector dado  . A tal vector se le llama versor asociado al vector   y se puede representar bien sea por   o por   e indica una dirección en el espacio.

La operación que permite hallar   es la división del vector entre su módulo.

 

Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se le conoce como normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

El método para transformar una base ortogonal (obtenida, por ejemplo mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt) en una base ortonormal (es decir, una base en la que todos los vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilizando la ecuación anterior.

Producto escalar de dos vectoresEditar

En el espacio euclídeo, el producto escalar de dos vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad:

 

Pero:

 

Por lo tanto:

 

donde θ es el ángulo entre ambos vectores.

Proyección escalarEditar

De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un vector (o vector unitario) es la proyección escalar del vector sobre la dirección determinada por el vector.

 

Como el módulo del vector   es la unidad, la ecuación anterior se transforma en:

 

de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado. Este resultado es muy frecuente en física, donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes ortogonales a una superficie.

Vectores cartesianosEditar

Los versores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos   se designan por  , respectivamente. Los versores cartesianos permiten expresar analíticamente los vectores por medio sus componentes cartesianas. Ejemplo: la expresión analítica del vector   es

 

Véase tambiénEditar