Distribución gamma

En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse

  1. Con parámetro de forma y parámetro de escala .
  2. Con parámetro de forma y parámetro inverso de escala .
Gamma
Parámetros forma (real)
escala (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Moda ,
Varianza
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica
Función de Densidad de una Gama.

Definición

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Notación

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Si una variable aleatoria continua   tiene distribución gamma con parámetros   y   entonces escribiremos  .

Función de Densidad

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Si   entonces su función de densidad es

 

para   donde

 

es la función gamma y satisface

  1.  
  2. Para cualquier   se cumple que  
  3. Si   entonces  
  4.  
  5. Si   entonces  

Función de Densidad Acumulada

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La función de distribución acumulada de una variable aleatoria   está dada por

 

Si   es una variable aleatoria tal que   donde   (es decir,   tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por

 

Propiedades

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Si   es una variable aleatoria tal que   entonces   satisface algunas propiedades.

La media de la variable aleatoria   es:

 

Varianza

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La varianza de la variable aleatoria   es

 

Momentos

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El  -ésimo momento de la variable aleatoria   es

 

para  .

Función generadora de momentos

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La función generadora de momentos está dada por

 

para  .

Suma de Gammas

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Si   para   son variables aleatorias independientes entonces

 

Escalar

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Si   entonces para cualquier  

 

Media Logarítmica

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Puede demostrarse que

 

donde   es la función digamma.

Cálculo de Probabilidades en R

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Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad   y la función de distribución   de una variable aleatoria continua  .

Función de densidad

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Para  , la función de densidad de la distribución Gamma está dada por

 

entonces para evaluar la función de densidad   utilizamos el siguiente código

# d=density function
dgamma(x,α,λ)

Función de Distribución

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La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por

 

para  , se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada  

# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)

Distribuciones Relacionadas

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  • Si   son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que   entonces  , a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro  .
  • Si   entonces  .
  • Si   con   entonces  .

Véase también

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Enlaces externos

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