Axiomática conjuntista de Gorbátov
Axiomática conjuntista de Gorbátov es un enfoque axiomático que construye formalmente una teoría de conjuntos sobre la base de axiomas pertinentes, con miras de usar en asuntos de informática.[1]
Axiomática
editarAxioma de existencia
editarExiste por lo menos un conjunto.[2]
Axioma de voluminosidad
editarLlamado también axioma de extensionalidad. Si los conjuntos Ma y Mb se componen de los mismos elementos, ellos coinciden (son iguales): Ma = Mb[3]
Axioma de unión
editarPara dos conjuntos arbitrarios Ma y Mb existe un conjunto, cuyos elementos son todos los elementos del conjuntos Ma y todos los elementos del conjunto Mb y que no contiene ningún otro elemento.
De los axiomas de voluminosidad y de unión se infiere que para los conjuntos arbitrarios Ma y Mb el conjunto que satisface el axioma de unión es único. La unicidad fluye de lo anterior.[4]
Axioma de diferencia
editarPara los conjuntos arbitrarios Ma y Mb existe un conjunto, cuyos elementos son aquellos, y solo aquellos, elementos del conjunto Ma que no son elementos del conjunto Mb.
Análogamente, del segundo y cuarto axiomas se deduce que para dos conjuntos arbitrarios existe exactanente un conjunto que contiene los elementos del primer conjunto, no pertenecientes al segundo. Este conjunto se denomina diferencia de Ma y Mb y que se denota Mc = Ma \ Mb[4]
Axioma de potencia
editarPara cada conjunto M existe una familia de conjuntos B(M) (booleano), cuyos elementos son todos los subconjuntos Mi, Mi ⊂ M, y solamente estos.[4]
Axioma de existencia del conjunto vacío
editarExiste tal conjunto ∅ que ningún elemento le pertenece.
Otras operaciones con conjuntos
editarAunque las operaciones y los conceptos de la teoría de los conjuntos fueron elaborados intuitivamnete, la estructuración axiomática da la oportunidad de definir formalmente estos conceptos y operaciones de la teoría de conjuntos, apoyándonos en los seis axiomas presentados previamente. Con el auxilio de unión y de diferencia, usando los axiomas introducidos , vamos a definir tres operaciones más sobre conjuntos.[5]
Intersección
editarSe define mediante la fórmula
Se puede demostrar que los elementos de la intersección son aquellos y únicamente aquellos que son elementos de Ma y además son elementos del conjunto Mb.
Complemento
editarEsta operación se define por la fórmula
donde
Diferencia simétrica
editarEsta operación se establece usando la fórmual definitoria
Propiedades de operaciones
editarEmpleando la axiomática introducida, se puede probar la validez de leyes que se aducen para determinar las propiedades de la signatura del álgebra de conjuntos: las leyes de «idempotencia», «conmutativa», «asociativa», «distributiva» «de operación con constantes », «de complemento doble», «leyes formuladas por De Morgan» y otras más presentadas a continuación:
- ley distributiva de intersección respecto a la diferencia
- ley conmutativa de diferencia simétrica
- ley asociativa de diferencia simétrica
- ley distributiva de intersección respecto a la diferencia simétrica
- leyes de encolamiento ;
- leyes de absorción
- leyes de Poretski ;
Notas y referencias
editarVéase también
editar- Axioma
- Álgebra de Boole
- Conjuntos
- Matemáticas discretas
- Sistema axiomático