Campila de Eudoxo

La campila de Eudoxo (en griego καμπύλη: curva) es una curva determinada por una ecuación cartesiana:

Gráfica de la campila de Eudoxo.

$x^{4}=x^{2}+y^{2}$

de la cual se ha de excluir la solución x = y = 0, o, en coordenadas polares:

$r=\sec ^{2}\theta \,.$

El astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnido (c. 408 a. C. - c. 347 a. C.) estudió esta curva cuártica en relación con el problema clásico de la duplicación del cubo.

La campila es simétrica con respecto a ambos ejes: $x$ y $y$. Corta el eje $x$ en $(-1,0)$ y en $(1,0)$. Tiene cuatro puntos de inflexión, en:

$(\pm {\sqrt {3/2}},\pm {\sqrt {3}}/2)$

(uno en cada cuadrante). La primera mitad de la curva es asintótica a $x^{2}-{\frac {1}{2}}$ cuando $x\to \infty$. En efecto se puede escribir así:

$y=x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}=x^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{n\geq 0}C_{n}(2x)^{-2n}$

donde

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$

es el $n$-ésimo número de Catalan.

Bibliografía

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 141–142. ISBN 0-486-60288-5. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Kampyle of Eudoxus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1151489
• Multimedia: Kampyle of Eudoxos / Q1151489