Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica (planteada por el matemático rumano Dorin Andrica) es una proposición sobre las diferencias entre números primos consecutivos.​

$A_{n}$ para los 100 primeros números primos.

$A_{n}$ para los 200 primeros números primos.

$A_{n}$ para los 500 primeros números primos.

La conjetura establece que la desigualdad

${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1$

se cumple para todo $n$, donde $p_{n}$ es el $n$-ésimo número primo.

Si $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como

$g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.$

Evidencia empírica

Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de $n$ menores a 1.3002 x 10¹⁶.​

El comportamiento de la función discreta $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de $A_{n}$ se producen para n = 1, 2, y 4, con

$A_{4}\approx$ 0,670873 ...,

sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 10⁵ primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que $n$ crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de $A_{n}$ cuando $n$ se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.

Generalizaciones

Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:

$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,$

donde $p_{n}$ es el $n$-ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.

Es fácil ver que la solución más grande posible $x$ se tiene para $n=1$, cuanto x_máx=1. Para la solución más pequeña posible $x$ se ha conjeturado que es x_mín $\approx$ 0.567148 ... , que se produce cuando $n=30$.

Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:

$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1$ para $x<x_{\min }.$

Véase también

• Conjetura de Cramér

Enlaces externos

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath

• Datos: Q1548146