En análisis matemático , la desigualdad de Minkowski establece que los espacios Lp son espacios vectoriales con una norma . Sea
S
{\displaystyle S}
espacio medible , sea
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
L
p
(
S
)
{\displaystyle L^{p}(S)}
f
+
g
{\displaystyle f+g}
L
p
(
S
)
{\displaystyle L^{p}(S)}
‖
f
+
g
‖
p
≤
‖
f
‖
p
+
‖
g
‖
p
{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}
con la igualdad para el caso
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1<p<\infty }
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
linealmente dependientes (lo que significa que
f
=
λ
g
{\displaystyle f=\lambda g}
g
=
λ
f
{\displaystyle g=\lambda f}
λ
≥
0
{\displaystyle \lambda \geq 0}
La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en
L
p
(
S
)
{\displaystyle L^{p}(S)}
Al igual que la desigualdad de Hölder , la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer:
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
+
y
k
|
p
)
1
/
p
≤
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
+
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}
para todos los números reales (o complejos )
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},~y_{1},\dots ,y_{n}}
n
{\displaystyle n}
cardinal de
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
Demostración
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Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen. Esto se sigue de que
|
f
+
g
|
p
≤
2
p
−
1
(
|
f
|
p
+
|
g
|
p
)
{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})}
En efecto, usando el hecho de que
h
(
x
)
=
x
p
{\displaystyle h(x)=x^{p}}
función convexa sobre
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
p
{\displaystyle p}
(
1
2
a
+
1
2
b
)
p
≤
1
2
a
p
+
1
2
b
p
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}}
tenemos que
(
a
+
b
)
p
≤
2
p
−
1
a
p
+
2
p
−
1
b
p
{\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}}
Ahora, se puede hablar legítimamente de
(
‖
f
+
g
‖
p
)
{\displaystyle (\|f+g\|_{p})}
(
‖
f
+
g
‖
p
)
{\displaystyle (\|f+g\|_{p})}
desigualdad de Hölder ,
‖
f
+
g
‖
p
p
=
∫
|
f
+
g
|
p
d
μ
{\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }
≤
∫
(
|
f
|
+
|
g
|
)
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
{\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }
=
∫
|
f
|
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
+
∫
|
g
|
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
{\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }
≤
H
o
¨
lder
(
(
∫
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
+
(
∫
|
g
|
p
d
μ
)
1
/
p
)
(
∫
|
f
+
g
|
(
p
−
1
)
(
p
p
−
1
)
d
μ
)
1
−
1
p
{\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}
=
(
‖
f
‖
p
+
‖
g
‖
p
)
‖
f
+
g
‖
p
p
‖
f
+
g
‖
p
{\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}
De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por
‖
f
+
g
‖
p
‖
f
+
g
‖
p
p
{\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}}
◻
{\displaystyle \quad \square }
Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. (1988). Inequalities . Cambridge Mathematical Library (1952a ed. edición). Cambridge: Cambridge University Press. p. xii+324. ISBN 0-521-35880-9 H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
