Distribución t no central
En Teoría de la probabilidad y Estadística, la distribución t no central generaliza la distribución t de Student mediante un parámetro de no centralidad. Así como en un contraste de hipótesis de igualdad de medias en una población normal, la distribución t de Student describe el estadístico de contraste cuando la hipótesis nula es cierta (igualdad de medias), la distribución t no central lo hace cuando la hipótesis nula es falsa; en consecuencia, es especialmente importante en el cálculo de la potencia estadística de un contraste. También se utiliza en la modelización robusta de datos.
Distribución t no central | ||
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Función de densidad de probabilidad | ||
Parámetros |
ν > 0 grados de libertad parámetro de no centralidad | |
Dominio | ||
Función de densidad (pdf) | Ver texto | |
Función de distribución (cdf) | Ver texto | |
Media | si | |
Varianza | , si | |
Definición editar
Sea una variable aleatoria normal estándar y una variable aleatoria χ² con grados de libertad que es independiente de . Se dice[1] que la variable aleatoria
tiene una distribución t no central con grados de libertad y parámetro de no centralidad ; se escribe . Cuando se obtiene una distribución de Student ordinaria . Debe tenerse en cuenta que el parámetro de no centralidad puede ser negativo.
Comentario sobre los grados de libertad no enteros. El caso habitual de esta distribución es cuando el número de grados de libertad es un número natural, pero tanto desde el punto de vista de las aplicaciones como de la teoría, es conveniente que esta distribución pueda tener cualquier número estrictamente positivo de grados de libertad, . Esto es correcto gracias a que una distribución χ² cuadrado está bien definida para .
Función de densidad editar
La función de densidad de la distribución t no central no tiene una expresión sencilla y veremos diversas formulaciones que aparecen en la literatura. Sea .
Expresión integral [2]
Expresión en serie. [5]
Expresión mediante funciones especiales.
Utilizando la función cilíndrica parabólica [6](ver la versión digital [7]),
tenemos que [8]
Expresión en términos de la función de distribución El software estadístico R y otros programas estadísticos utilizan la siguiente expresión para calcular la función de densidad [1]:
Demostraciones |
Fórmula (1)
Escribimos Expresión en serie. Volvamos a la expresión (*), que equivale a Expresiones en términos de funciones especiales. La fórmula (3) se deduce de la fórmula (1) utilizando la representación integral de la función cilíndrica parabólica [10]: para , |
Función de distribución editar
La función de distribución de la distribución t no central con grados de libertad y parámetro de no centralidad se puede expresar como [14][15]
y es la función de distribución de la distribución normal estándar. Nótese que sólo depende de y por tanto en (6), para es indistinto poner o .
Demostración |
Esta fórmula se deduce a partir de la expresión en serie de la función de densidad (2). Empezaremos demostrando una fórmula intermedia que nos será de utilidad más adelante. Argumentando que la convergencia de la serie en (2) es uniforme en cualquier intervalo finito [16] , podemos integrar término a cabo; concretamente, para , se obtiene Por otro lado, Para , tenemos Finalmente, para obtener la expresión (7), el sumatorio de (8) se separa en dos, uno para los índices pares y el otro para los impares. |
Demostración de la fórmula de la densidad en términos de la función de distribución |
La demostración consiste en calcular la diferencia utilizando la fórmula (8). Fijemos ; el punto clave de la prueba es que en la expresión (8) de y de , para cada término del sumatorio, el subíndice de la función gamma incompleta es el mismo . Concretamente, si definimos la función Aplicando la fórmula de duplicación de la función beta y simplificando, juntando todos los términos del sumatorio, se obtiene que multiplica la expresión de la derecha de (2), con lo que se demuestra (5 ) cuando . Para , por los cálculos efectuados, tenemos que |
Momentos editar
El momento de orden de una distribución no central es [18]
- donde designa la derivada de orden k -ésimo de la función .
En particular, la media y la varianza son:
Demostración |
Debido a la independencia entre el numerador i el denominador en la definición de la distribución no central, a que una variable normal tiene momentos de todos los órdenes y que , el cálculo de los momentos se reduce a Por un lado, para la distribución normal estándar tenemos la siguiente expresión: |
Aplicación al cálculo de la potencia del contraste t de Student editar
Véase Johnson and Welch [19]. Sea una muestra de una población normal , es decir, las variables aleatorias son independientes y todas tienen distribución . Fijado un número . Queremos contrastar
- Si suponemos , entonces .
- Tenemos que
- Las variables aleatorias de los puntos 1 y 2 son independientes (véase la distribución χ²) .
En consecuencia, si , tenemos que . Por tanto, la potencia del test en el punto será
Uso en intervalos de tolerancia editar
Los intervalos de tolerancia normales unilaterales tienen una solución exacta en términos de la media muestral y la varianza muestral basada en la distribución t no central [20]. Esto permite calcular un intervalo estadístico dentro del cual, con cierto nivel de confianza, se encuentra una proporción especificada de la población.
Referencias editar
- ↑ Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1995). Continuous univariate distributions. 2 (2. ed edición). Wiley. p. 508. ISBN 978-0-471-58494-0.
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