Distribución de Benktander de tipo II

La distribución de Benktander de tipo II, también denominada de segunda clase, es uno de los dos tipos de distribuciones introducidas por Gunnar Plantilla:Harvs para modelizar pérdidas con distribuciones de cola pesada en el sector de lo seguros, basándose en diferentes formas de la función de exceso media (Benktander y Segerdahl, 1960). Esta distribución se "asemeja" a una distribución de Weibull (Kleiber y Kotz, 2003).

Distribución de Benktander de tipo II
Parámetros	$a>0$ (real) $0<b\leq 1$ (real)
Dominio	$[1,\infty )\!$
Función de densidad (pdf)	$e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}x^{b-2}\left(ax^{b}-b+1\right)$
Función de distribución (cdf)	$1-x^{b-1}e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}$
Mediana	${\begin{cases}{\frac {\log(2)}{a}}+1&{\text{si}}\ b=1\\\left(\left({\frac {1-b}{a}}\right)\mathbf {W} \left({\frac {2^{\frac {b}{1-b}}ae^{\frac {a}{1-b}}}{1-b}}\right)\right)^{\tfrac {1}{b}}&{\text{en otro caso}}\ \end{cases}}$ Donde $\mathbf {W} (x)$ es la función W de Lambert​
Moda	$1$
Varianza	${\frac {-b+2ae^{\frac {a}{b}}\mathbf {E} _{1-{\frac {1}{b}}}\left({\frac {a}{b}}\right)}{a^{2}b}}$ donde $\mathbf {E} _{n}(x)$ es la Integral exponencial generalizada​
Función característica	media =$1+{\frac {1}{a}}$

La función de exceso medio para una distribución de Benktander I puede calcularse explícitamente y viene dada por:

$e_{X}(u)=\mathbb {E} (X-u|X>u)={\frac {u^{1-b}}{a}}$

Véase también

• Distribución de Benktander de tipo I

Referencias

Bibliografía

• Kleiber, Christian; Kotz, Samuel (2003). «7.4 Benktander Distributions». Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Science. Wiley Series and Probability and Statistics. John Wiley & Sons. pp. 247–250. ISBN 9780471457169. 
• Benktander, Gunnar; Segerdahl, Carl-Otto (1960). «On the Analytical Representation of Claim Distributions with Special Reference to Excess of Loss Reinsurance». Proceedings of the XVIth International Congress of Actuaries, Brussels, 1960: 626-646. 
• Benktander, Gunnar (1970). «Schadenverteilungen nach Grösse in der Nicht-Lebensversicherung» [Loss Distributions by Size in Non-life Insurance]. Bulletin of the Swiss Association of Actuaries (en alemán): 263-283. 

• Datos: Q4889567