Identidad curiosa de Sun

En combinatoria, la identidad curiosa de Sun es la siguiente identidad, que involucra coeficientes binomiales. Fue establecida por Zhi-Wei Sun en 2002:

$(x+m+1)\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}{\dbinom {x+y+i}{m-i}}{\dbinom {y+2i}{i}}-\sum _{i=0}^{m}{\dbinom {x+i}{m-i}}(-4)^{i}=(x-m){\dbinom {x}{m}}.$

Demostraciones

Después de la publicación de Sun de esta identidad en 2002, varios matemáticos obtuvieron otras cinco demostraciones:

• Prueba de Panholzer y Prodinger vía función generadora;
• Prueba de Merlini y Sprugnoli usando matrices de Riordan;
• Prueba de Ekhad y Mohammed por el método WZ;
• Demostración de Chu y Claudio con la ayuda de la fórmula de Jensen;
• Demostración combinatoria de Callan que involucra dominós y coloreados.

Referencias

• Callan, D. (2004), «A combinatorial proof of Sun's 'curious' identity», INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 4: A05, arXiv:math.CO/0401216 ..

• Chu, W.; Claudio, L.V.D. (2003), «Jensen proof of a curious binomial identity», INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 3: A20 ..

• Ekhad, S. B.; Mohammed, M. (2003), «A WZ proof of a 'curious' identity», INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 3: A06 ..

• Merlini, D.; Sprugnoli, R. (2002), «A Riordan array proof of a curious identity», INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 2: A08 ..

• Panholzer, A.; Prodinger, H. (2002), «A generating functions proof of a curious identity», INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 2: A06 ..

• Sun, Zhi-Wei (2002), «A curious identity involving binomial coefficients», INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 2: A04 ..

• Sun, Zhi-Wei (2008), «On sums of binomial coefficients and their applications», Discrete Mathematics 308 (18): 4231-4245, arXiv:math.NT/0404385, doi:10.1016/j.disc.2007.08.046 ..

• Datos: Q7638108