Diferencia entre revisiones de «Longitud de arco»

<nowiki>Aquí inserta texto sin formato</nowiki>== Deducción de la fórmula para funciones de una variable ==

Supongamos que tenemos una curva ''rectificable'' cualquiera, regida por una función <math> f \left ( x \right ) </math>, y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva <math>S</math> que va desde un punto <math>a</math> a uno <math>b</math>. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a <math>\Delta x</math>, de manera que para cada uno existirá un cateto <math>\Delta y</math> asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a <math>\sqrt {\Delta x^2 + \Delta y^2} </math>, al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de <math>S</math> estaría dada por la sumatoria de todas aquellas <math>n</math> hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;

Ahora bien, mientras más pequeños sean estos <math>n</math> segmentos, mejor será la aproximación buscadatodosbuscada; aebs que usted es una goda fes fes perraseránserán tan pequeños como deseemos haciendo que <math>\Delta x</math> tienda a cero. Así, <math>\Delta x</math> deviene en <math>dx</math>, y cada cociente incremental <math>{\Delta y_i / \Delta x_i}</math> se transforma en un <math>dy/dx</math> general, que es por definición <math> f ' \left ( x \right ) </math>. Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;