Diferencia entre revisiones de «Longitud de arco»
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Entre las curvas con soluciones cerradas están la [[catenaria]], el [[círculo]], la [[cicloide]], la [[espiral logarítmica]], la [[parábola]], la [[parábola semicúbica]] y la línea [[recta]].
== Deducción de la fórmula para funciones de una variable ==
[[Imagen:Arclength.png|right|350px]]
Supongamos que tenemos una curva ''rectificable'' cualquiera, regida por una función <math> f \left ( x \right ) </math>, y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva <math>S</math> que va desde un punto <math>a</math> a uno <math>b</math>. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a <math>\Delta x</math>, de manera que para cada uno existirá un cateto <math>\Delta y</math> asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a <math>\sqrt {\Delta x^2 + \Delta y^2} </math>, al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de <math>S</math> estaría dada por la sumatoria de todas aquellas <math>n</math> hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;
{{ecuación|
<math>S \sim \sum_{i=1}^n \sqrt { \Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 } </math>
||left}}
Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
{{ecuación|
<math>\sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 }=\sqrt{ ({\Delta x^2 + \Delta y^2}).(\Delta x^2 / \Delta x^2)}=\sqrt { 1 + \Delta y^2 / \Delta x^2}.\Delta x=\sqrt { 1 + ({\Delta y / \Delta x})^2 }.\Delta x</math>
||left}}
Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:
{{ecuación|
<math>S \sim \sum_{i=1}^n \sqrt { 1 + ({\Delta y_i / \Delta x_i})^2 }.\Delta x_i </math>
||left}}
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos <math>n</math> segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que <math>\Delta x</math> tienda a cero. Así, <math>\Delta x</math> deviene en <math>dx</math>, y cada cociente incremental <math>{\Delta y_i / \Delta x_i}</math> se transforma en un <math>dy/dx</math> general, que es por definición <math> f ' \left ( x \right ) </math>. Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;
<math>S = \lim_{\Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^\infty \sqrt { 1 + ({\Delta y_i / \Delta x_i})^2 }.\Delta x_i = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 } dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx </math>
== Métodos Históricos ==
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