Diferencia entre revisiones de «Ley de Ohm»
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Siendo <math>\vec J</math> la densidad de la corriente, '''<math>\sigma</math>''' la [[conductividad eléctrica]] y <math>\vec E</math> el [[campo eléctrico]], sin embargo se suele emplear las fórmulas simplificadas anteriores para el análisis de los circuitos.
== Deducción ==
[[Archivo:Resistencialeydeohm.JPG|thumb|400px| Esquema de un conductor cilíndrico donde se muestra la aplicación de la Ley de Ohm]]
Como ya se destacó anteriormente, las evidencias empíricas mostraban que <math>{\vec J}</math> (vector [[densidad de corriente]]) es directamente proporcional a <math>\vec E</math> (vector [[campo eléctrico]]). Para escribir ésta relación en forma de ecuación es necesario añadir una constante arbitraria, que posteriormente se llamó factor de [[conductividad eléctrica]] y que representaremos como σ. Entonces:
: <math>\vec J={\sigma}{\vec E_{r}} </math>
El vector <math>\vec E_{r}</math> es el vector resultante de los campos que actúan en la sección de alambre que se va a analizar, es decir, del campo producido por la carga del alambre en sí y del campo externo, producido por una [[batería eléctrica|batería]], una [[pila]] u otra fuente de [[fem]]. Por lo tanto:
: <math>\frac{\vec J}\sigma={\vec E + \vec E_{ext}}</math>
Ahora, sabemos que <math> \vec J = \frac{I}{A}\vec n</math> , donde <math>\vec n </math>es un [[vector unitario]] de dirección, con lo cual reemplazamos y multiplicamos toda la ecuación por un <math>d\vec l </math>:
: <math>\frac{I}{A\sigma}\vec n \cdot d\vec l = ({\vec E \cdot d\vec l + \vec E_{ext} \cdot d\vec l})</math>
Los vectores <math>\vec n</math> y <math>d\vec l </math> poseen la misma dirección y sentido, con lo cual su producto escalar puede expresarse como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo formado entre ellos. Es decir:
: <math> \vec n \cdot d\vec l = |\vec n|\cdot |d\vec l|\cdot cos \theta = (1) \cdot |d\vec l| \cdot cos0 = dl</math>
Por lo tanto, se hace la sustitución:
: <math>\frac{I}{A\sigma} dl = ({\vec E \cdot d\vec l + \vec E_{ext} \cdot d\vec l})</math>
Integrando ambos miembros en la longitud del conductor:
: <math>
\int_{1}^{2} \frac{I}{A\sigma} dl =
\int_{1}^{2}({\vec E \cdot d\vec l +
\vec E_{ext} \cdot d\vec l}) =
\int_{1}^{2}{\vec E \cdot d\vec l} +
\int_{1}^{2}{\vec E_{ext} \cdot d\vec l}
</math>
El miembro derecho representa el trabajo total de los campos que actúan en la sección de alambre que se está analizando, y de cada integral resulta:
: <math>\int_{1}^{2}{\vec E \cdot d\vec l} = \phi_{1} - \phi_{2}</math>
y
: <math>\int_{1}^{2}{\vec E_{ext} \cdot d\vec l} = \xi</math>
Donde <math>\phi_{1} - \phi_{2}</math> representa la [[diferencia de potencial]] entre los puntos ''1'' y ''2'', y <math> \xi </math> representa la [[fem]]; por tanto, podemos escribir:
: <math>\frac{I}{A\sigma} l_{12} = \phi_{1} - \phi_{2} + \xi = U_{12} </math>
donde <math> U_{12}</math> representa la '''caída de potencial''' entre los puntos ''1'' y ''2''.
Como dijimos anteriormente, σ representa la [[Conductividad eléctrica|conductividad]], por lo que su inversa representará la [[resistividad]] y la representaremos como ρ. Así:
: <math>\frac{I\rho}{A} l_{12} = U_{12}</math>
Finalmente, la expresión <math>\frac{\rho}{A} l_{12} </math> es lo que se conoce como [[resistencia eléctrica]]
Por tanto, podemos escribir la expresión final como lo dice abajo:
: <math> I\cdot R_{12} = U_{12} </math>
== Símil hidráulico ==
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