Diferencia entre revisiones de «Serie (matemática)»
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En [[matemáticas]], una '''serie''' es la [[suma]] de los términos de una [[sucesión matemática|sucesión]]. Se representa una serie con términos <math>a_n</math> como <math>\sum_{i=1}^N a_i</math> donde N es el índice final de la serie. Las ''series infinitas'' son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, <math>i = 1,2,3,\ldots</math>.
Por e decir nada sobre el comportamiento de la serie.▼
Las series ''convergen'' o ''divergen''. En [[cálculo]], una serie ''diverge'' si <math>\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i</math> no existe o si tiende a infinito; ''converge'' si <math>\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L</math> para algún <math>L \in \mathbb{R}</math>.
== Algunos tipos de series ==
* Una ''[[serie geométrica]]'' es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada ''razón''. Ejemplo (con constante 1/2):
::<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}.</math>
:En general, una serie geométrica, de razón ''z'', es convergente sólo si |''z''| < 1 a:
::<math>\sum_{n=0}^{\infty} z^n = {1 \over 1 - z}</math>
* La ''[[Serie armónica (matemática)|serie armónica]]'' es la serie
::<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.</math>
:La serie armónica es divergente.
* Una ''[[serie alternada]]'' es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
::<math>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.</math>
* Una ''serie telescópica'' es la suma <math>\textstyle \sum a_n </math>, donde ''a''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''n''</sub> − ''b''<sub>''n''+1</sub>. Se representa de la siguiente manera:
:<math>\sum_{n=0}^N ( b_{n}-b_{n+1} )</math>
:La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
:<math>S_N=(b_0-b_1)+(b_1-b_2) + \cdots + (b_{N-1} - b_{N}) +(b_N - b_{N+1}) = b_0 - b_{N+1}</math>
*Una [[serie hipergeométrica]]<ref>[http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_6_2_2.pdf http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_6_2_2.pdf]</ref> es una serie de la forma <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n\, </math>, que cumple que <math> {a_{n+1}\over a_n}\, </math> = <math> {\alpha n + \beta}\over {\alpha n + \gamma}\, </math>.
== Sumas conocidas ==
{{AP|Fórmula de Faulhaber}}
::<math>\sum_{i=1}^{r} i={r(r+1)\over 2}.</math>
::<math>\sum_{i=1}^{r} i^2={r(r+1)(2r+1)\over 6}.</math>
::<math>\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{i} j=\sum_{i=1}^{r}{i(i+1)\over 2}= {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r}(i^2 + i)={1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i^2 + {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i.</math>
==Criterios de convergencia==
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge (<math>\pm \infty</math> u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).
===Condición del resto===
:Si una serie <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> es convergente, entonces <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0</math>.
El recíproco no es cierto. El contra recíproco es:
:Si <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k\neq 0</math> entonces <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> es divergente.
Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.
Demostración:
Por Hipótesis:
:<math>S_k = a_1+a_2+...+a_k</math>
:<math>\lim_{k \rightarrow \infty} S_k = S </math> para todo s ε ℝ
Sabemos que <math>S_{k-1} = a_1+a_2+...+a_{k-1}</math> y que <math>\lim_{k \rightarrow \infty} S_{k-1} = S </math> para todo s ε ℝ
Por lo tanto teniendo en cuenta que <math>S_k-S_{k-1}=a_k</math> entonces <math>\lim_{k \rightarrow \infty} (S_k-S_{k-1}) =S-S= \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0 </math>
Queda demostrada la proposición.
=== Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón) ===
{{AP|Criterio de d'Alembert}}
Sea una serie <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math>, tal que <math>a_k>0</math> ( serie de términos positivos).
Si existe
:<math>\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L</math>
con <math>L \, \in \, [0, +\infty)</math>, el Criterio de D'Alembert establece que:
*si <math>L < 1</math>, la serie converge.
*si <math>L > 1</math>, entonces la serie diverge.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
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