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[[Imagen:Logarithms.png|thumb|364px|Representación gráfica de logaritmos en varias bases:
<br />el <span style="color:red">rojo</span> representa el logaritmo en base [[Número e|''e'']],
<br />el <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10,
<br />y el <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7.
<br />Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (''b'', 1) para la base ''b'', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.]]
En [[matemática]], el '''logaritmo''' es una función matemática inversa de la [[función exponencial]].
La función exponencial: donde x tiende a cero = b<sup>n</sup>, equivale a la expresión: log<sub>b</sub> x = n.
== Introducción ==
Dado un número real (argumento), la función logaritmo asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la [[función]] inversa de la exponencial ''x'' = b<sup>''n''</sup>, que permite obtener ''n''. Esta función se escribe como: ''n'' = log<sub>''b''</sub> ''x''. Así, en la expresión 10<sup>2</sup> = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log<sub>10</sub> 100 = 2. Por ejemplo: <math>3^4 = 81 \longmapsto \log_3 81 = 4 \,\!</math>
El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en ''b''<sup>''n''</sup> = ''x'', puede encontrarse ''b'' con [[Función raíz|radicales]], ''n'' con '''logaritmos''' y ''x'' con [[exponenciación]].
Se denomina '''logaritmo neperiano''' o '''logaritmo natural (ln)''' al logaritmo en base [[Número e|e]] de un número.
== Historia ==
El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por [[John Napier]] (latinizado ''Neperus'') en 1614, en su libro titulado ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''. [[Joost Bürgi]], un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos, sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por [[Kepler]], por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la [[astronomía]], facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en [[geodesia]], [[navegación]] y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y [[computadora]]s. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió ''r'' = 1 - 10<sup>−7</sup> = 0,999999 (Bürgi eligió ''r'' = 1 + 10<sup>−4</sup> = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 10<sup>7</sup> = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: ''N'' = 10<sup>7</sup>(1 − 10<sup>−7</sup>)<sup>''L''</sup>. Donde (1 − 10<sup>−7</sup>)<sup><span>10<sup>7</sup></span></sup> es aproximadamente 1/e, haciendo ''L''/10<sup>7</sup> equivalente a log<sub>1/''e''</sub> ''N''/10<sup>7</sup>.
La definición moderna y su explicación aparece en 1866, en un diccionario de Ciencia, Literatura, y Arte: Comprende las definiciones y derivaciones de la Ciencia en términos de uso general, junto con la Historia y descripción de los principios científicos de casi todos los sectores del conocimiento humano.
=== Etimología ===
Inicialmente, Napier llama "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como ''un número que indica una relación o proporción''. Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su "teorema fundamental", que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una [[serie aritmética]] de logaritmos corresponde a una [[serie geométrica]] de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.
== Definición analítica ==
[[Archivo:Logaritmo_función1.png|frame|En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = ''e'' (T<sub>e</sub>) y en x = 1 (T<sub>1</sub>).]]
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la [[función primitiva]] de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
# La [[función derivada|derivada]] de la función <math>f(x) = x^n \,\!</math> es <math>f^\prime(x) = nx^{n-1} \,\!</math>. Al dividir ambos lados de la expresión por "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de <math>x^m \,\!</math> es <math>{x^{m+1}}/{m+1}\,</math> (con <math>m = n - 1\,</math>).
# Este cálculo obviamente no es válido cuando <math>m = - 1</math>, porque no se puede [[División por cero|dividir por cero]]. Por lo tanto, la función inversa <math>1/x\,</math> es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
#Sin embargo, la función <math>1/x\,</math> es continua sobre el rango <math>(0, + \infty)</math> lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre <math>(- \infty, 0)</math>.
A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:
{{ecuación|
<math>[\ln(x)]^\prime = \frac {1}{x}, \qquad \ln (1) = 0</math>
||left}}
=== Propiedades ===
*La función <math>\ln(x)\,</math> definida anteriormente es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva
*Tiene límites infinitos en <math>0^+\,</math> y en <math>+\infty</math>.
*La tangente T<sub>e</sub> que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
*La tangente T<sub>1</sub> que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: <math>y = x - 1</math>.
*La derivada de segundo orden es <math>\ln^{\prime\prime} (x) = {-1}/{x^2}\,</math>, siempre negativa., por lo tanto la función es cóncava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T<sub>1</sub> y T<sub>e</sub>.
== Uso de logaritmos ==
La función <math>log_b(x)=a</math> está definida donde quiera que ''x'' es un número real positivo y ''b'' es un número real positivo diferente a 1. Véase [[identidades logarítmicas]] para diversas reglas relacionadas a las funciones logarítmicas. También es posible definir logaritmos para argumentos [[número complejo|complejos]].
Para [[número entero|enteros]] ''b'' y ''x'', el número <math>log_b(x)</math> es [[número irracional|irracional]] (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si ''b'' o ''x'' tiene un [[factorización|factor primo]] que el otro no tiene.
== Logaritmo natural ==
En [[análisis matemático]] se llama ''logaritmo natural'' o ''logaritmo neperiano'' a la [[función primitiva|primitiva]] de la función:<br />
<math>f(x) = \frac {1}{x} \,\!</math>
que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1, es decir:
<math>\ln (x)=\int_1^x \frac{dt}{t}</math> para x > 0.
También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del [[número trascendental]] "[[número e|e]]" (aproximadamente igual a 2,718.281.828...).
La función logaritmo natural es la [[función recíproca|inversa]] de la [[función exponencial]]: <math>f(x) = e^x\;</math>.
=== Números reales ===
El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos.
Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.
=== Números complejos ===
El logaritmo natural de un número complejo ''z'' es otro número complejo ''b'' = ln(''z'') que sea solución de la ecuación:
{{Ecuación|<math>z = e^b\;</math>|*|left}}
Sin embargo trabajando con números complejos aparece una dificultad que no aparecía con los números reales positivos, y es que la ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo ''z'' escrito en forma polar una solución posible de la ecuación {{Eqnref|*}} es ''b''<sub>0</sub>:
{{Ecuación|<math>b_0 = \ln \rho + i \theta \qquad \mbox{con}\ z = \rho e^{i\theta}</math>||left}}
Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier valor <math>k\in\mathbb{Z}</math> resulta que el número complejo ''b<sub>k</sub>'', definido a continuación, también es solución:
{{Ecuación|<math>b_k = \ln \rho + i\theta + 2\pi ki \qquad \Rightarrow e^{b_k} = \rho e^{i\theta}\cdot e^{2\pi ki} = z</math>||left}}
De hecho cada valor particular de ''k'' define una [[superficie de Riemann]].
=== Matrices ===
{{AP|Logaritmo de una matriz}}
Una matriz ''B'' es logaritmo de una matriz dada ''A'' si la [[Exponencial de matrices|exponenciación]] de ''B'' es ''A'':
:<math> e^B = A. \, </math>
A diferencia de la [[exponenciación]] de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre.
En el caso de una [[matriz diagonalizable]] es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los [[autovalor]]es o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es una matriz real.
Para una matriz real, tal que el logaritmo no está definido sobre el [[Espectro de un operador|espectro]] o conjunto de autovalores entonces al igual que sucedía con los números reales negativos y los complejos aun así es posible definir una matriz logaritmo aunque esta no está definida unívocamente.
En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar la [[forma canónica de Jordan]] de la matriz.
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