Diferencia entre revisiones de «Proporcionalidad»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 200.79.203.114 (disc.) a la última edición de Luis1970 |
|||
Línea 2:
__TOC__
==Primer ejemplo==
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 [[gramos|g]] de [[harina]], 150 [[gramos|g]] de [[mantequilla]], cuatro huevos y 120 g de [[azúcar]]. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 de mantequilla y 150 de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el ''chef'' que escribió la receta.
Se dice que la [[cantidad]] de cada ingrediente es '''proporcional''' al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente '''k''' no nulo (<math> 5 \over 4</math> en el ejemplo) tal que <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \ </math></div><br>
[[Imagen:Variables_proporcionals.png|right|variables proporcionales relacionados por una función lineal]]
Si se consideran <math>x_1, x_2 ... x_n \ </math> e <math>y_1, y_2 ... y_n \ </math> como valores de [[variable]]s <math>x \ </math> e <math>y \ </math>, entonces se dice que estas variables son proporcionales; la [[igualdad]] '''y = k·x''' significa que y es una [[Función lineal]] de x.<br>
La representación gráfica de esta [[función]] es una [[recta]] que pasa por el origen del [[sistema de coordenadas]]. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
<center><math>\Delta y = k \cdot \Delta x \ </math></center>
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de [[matemáticas]], con alumnos de trece [[año]]s aproximadamente.
La [[relación matemática|relación]] «Ser proporcional a» es
*[[relación reflexiva|reflexiva]] ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
*[[relación simétrica|simétrica]] (cuando ''y'' es proporcional a ''x'' entonces ''x'' lo es a ''y'', con el coeficiente inverso) y
*[[relación transitiva|transitiva]] (si ''x'' es proporcional a ''y'', e ''y'' a ''z'', entonces ''x'' lo es con ''z'', multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una [[relación de equivalencia]]. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
[[Imagen:Proporcionalidad tabla 2.png|center|tres tablas de proporcionalidad 2x2]]
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
[[Imagen:Proporcionalidad tabla 3.png|center|tres maneras de ver la proporcionalidad]]
Una '''proporción''' está formada por los [[número]]s a, b, c y d, si la [[razón]] entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales:
a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos de [[cero]] y se lee ''a es a b como c es a d ''.
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:
a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple:
a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman '''extremos'''; c y b se llaman '''medios'''.
En toda proporción ''el producto de los extremos es igual al producto de los medios''.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
# verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por <math> b \over a</math>; en la segunda línea se tiene que multiplicar por <math> d \over c</math>, luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
# verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
# verificar la igualdad de los productos cruzados: '''a·d = b·c'''. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).
==Segundo ejemplo==
Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las [[hipótesis]] subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de [[albañil]]es equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la [[superficie (matemática)|superficie]] es proporcional al [[tiempo]] de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.
[[Imagen:Proporcionalidad tabla 4.png|left|proporcionalidad múltiple]]
Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ?
El [[parámetro]] "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por <math>4 \over 3</math>.
Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por <math>5 \over 2</math> (la subtabla azul es proporcional).<br>
{|
|El resultado final es
||<math>12 \times \frac 4 3 \times \frac 5 2 = 40</math>
|| metros cuadrados.
|}
La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:
[[Imagen:Proporcionalidad tabla 5.png|center|caso general de la proporcionalidad múltiple]]
==Tercer ejemplo==
Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 [[kilómetro por hora|km/h]]. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar? <br>
| |||