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Línea 91: \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}.</math> :En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular, obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son: ::<math>\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}} = \infty</math> ~~([[Serie armónica]]).~~ ::<math>\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-2}}= \frac{\pi^2}{6}.</math> ~~([[Problema de Basilea]]).~~ ::En general <math>\frac{1}{\pi^n}\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-n}}</math> es un número racional cuando ''n'' es un número entero positivo par. * El [[anillo (matemática)\|anillo]] '''Z'''/p'''Z''' es un [[cuerpo (matemática)\|cuerpo]] si y solo si ''p'' es primo. Equivalentemente: ''p'' es primo si y solo si [[función φ de Euler\|φ(''p'')]] = ''p'' − 1. Línea 136: Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la [[suma de los inversos de los números primos\|serie]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\dots</math> es [[divergencia\|divergente]]. Uno de los [[teoremas de Mertens]] concreta más, estableciendo que :<math>\sum_{p\leq n} \frac{1}{p}=\ln \ln n+O(1)</math><ref>Véase, por ejemplo, ''An Introduction to the Theory of Numbers'', p. 24. (en inglés)</ref> donde la expresión <math>O(1)</math> indica que ese término está acotado entre -C0 y C para ''n'' mayor que ''n''<sub>0</sub>, donde los valores de C y ''n''<sub>0</sub> no están especificados.<ref>En general, en la notación de Landau, <math>f(n) \in O(g(n))</math> indica que <math>f(n)</math> está ''dominada asintóticamente'' por <math>O(g(n))</math>, es decir, <math>\limsup_{n \to \infty} \left\|\frac{f(n)}{g(n)}\right\| < \infty</math>. Para más información, lea ''[[notación de Landau]]''.</ref> Otro resultado es el [[teorema de Dirichlet]], que dice así:{{cita requerida}}

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