Diferencia entre revisiones de «Sistema de referencia no inercial»
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on]]. Dado un [[sistema de referencia inercial]], un segundo sistema de referencia será no inercial cuando describa un movimiento acelerado respecto al primero. La [[aceleración]] del sistema no inercial puede deberse a:▼
▲
* Un cambio en el módulo de su velocidad de traslación (aceleración lineal).
* Un cambio en la dirección de su velocidad de traslación (por ejemplo en un movimiento de giro alrededor de un sistema de referencia inercial).
* Un movimiento de rotación sobre sí mismo (véase '''figura 1''').
* Una combinación de algunos de los anteriores.
Un ejemplo de sistema no inercial podría ser el correspondiente a un sistema de coordenadas "fijo en la [[Tierra]]", en el cual los movimientos de los cuerpos serían medidos respecto a puntos de la Tierra que estarían girando.
Un observador situado en un sistema de referencia no inercial, deberá recurrir a [[Fuerza ficticia|fuerzas ficticias]] (tales como la [[fuerza de Coriolis]] o la [[fuerza centrífuga]]) para poder explicar los movimientos con respecto a dicho sistema de
Por tanto, puede detectarse que un sistema de referencia dado es no inercial por sus violaciones de las Leyes de Newton. Por ejemplo, la [[rotación]] de la Tierra se manifiesta por la rotación del vector de la [[gravedad]] que actúa sobre un [[péndulo de Foucault]], que hace que el plano de oscilación del péndulo varíe respecto a su entorno.
Siendo rigurosos podría argumentarse que los sistemas de referencia inerciales no existen, o al menos no en nuestro entorno, pues la Tierra gira sobre sí misma y también alrededor del [[Sol]], y éste a su vez lo hace respecto al centro de la [[Vía Láctea]]. Sin embargo, con objeto de simplificar los problemas, normalmente se considerarán como inerciales sistemas que en realidad no lo son, siempre que
== Ejemplos de sistemas no inerciales ==
▲Siendo rigurosos podría argumentarse que los sistemas de referencia inerciales no existen, o al menos no en nuestro entorno, pues la Tierra gira sobre sí misma y también alrededor del [[Sol]], y éste a su vez lo hace respecto al centro de la [[Vía Láctea]]. Sin embargo, con objeto de simplificar los problemas, normalmente se considerarán como inerciales sistemas que en realidad no lo son, siempre que s no inerciales ==
=== Ejemplo 1. Movimiento circular ===
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[[Archivo:Ascensor1.svg|thumbnail|right|200px|'''Figura 3'''. El sistema de referencia (O, x, y) se consideraría un sistema de referencia inercial, mientras que (O, x', y') sería un sistema de referencia no inercial.]]
Consideremos ahora
El observador supone que el objeto está sometido únicamente a la aceleración de la gravedad, por lo que la posición del objeto será función del tiempo, y vendrá dada por la expresión siguiente (correspondiente a un [[movimiento uniformemente acelerado]]):
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<center><math>y_m = h - \frac{1}{2} \, g \, t^2</math></center>
Y para el instante en el que el cuerpo llega al suelo del ascensor (''y'' = 0):
<center><var una violación de las leyes de Newton, si situáramos una masa conocida en una báscula fijada al suelo del ascensor. En este caso el peath>. La diferencia está en que en ese caso la fuerza ficticia tendría el sentido contrario (estaría dirigida hacia abajo).▼
<center><math>0 = h - \frac{1}{2} \, g \, t^2</math></center>
Luego el tiempo que tarda en caer será:
<center><math>t = \sqrt{\frac{2h}{g}}</math></center>
El observador mide el tiempo que tarda el objeto en caer, pero para su sorpresa comprueba que éste es mayor que el que se obtendría con la fórmula anterior. Por tanto, la aceleración tiene que ser más pequeña que la de la gravedad. Para justificarlo piensa que debe haber otra fuerza (fuerza ficticia) que se oponga al movimiento, de forma que:
<center><math>P - F_f = m \cdot a \Rightarrow m \cdot g - m \cdot a' = m \cdot a \Rightarrow g - a' = a</math></center>
siendo <math>a</math> la aceleración aparente del objeto para el observador que realiza la medición del tiempo.
Por tanto, la expresión para obtener el tiempo correcto sería:
<center><math>t = \sqrt{\frac{2h}{(g-a')}}</math></center>
[[Imagen:Ascensor2.svg|thumbnail|right|200px|'''Figura 4'''. Efecto de la aceleración del ascensor sobre el peso de un objeto.]]
Sin embargo, un observador situado en el sistema de referencia inercial no tendrá que recurrir a ninguna fuerza ficticia para explicar el movimiento. La posición del suelo del ascensor (ver figura 3) vendría dada por:
<center><math>y_a= y_o - \frac{1}{2} \, a' \, t^2</math></center>
Y la del objeto:
<center><math>y_m= y_o + h - \frac{1}{2} \, g \, t^2</math></center>
En el instante en que el objeto llega al suelo del ascensor, la posición del objeto y la del suelo de ascensor coinciden, por lo que <math>y_a = y_m</math> . Es decir:
<center><math>y_o - \frac{1}{2} \, a' \, t^2 = y_o + h - \frac{1}{2} \, g \, t^2 \Rightarrow 0 = h - \frac{1}{2} \, (g-a') \, t^2</math></center>
De donde se obtiene:
<center><math>t = \sqrt{\frac{2h}{(g-a')}}</math></center>
que coincide con la expresión que se obtuvo para el sistema de referencia no inercial con el uso de la fuerza ficticia.
También podríamos observar una violación de las leyes de Newton, si situáramos una masa conocida en una báscula fijada al suelo del ascensor. En este caso el peso medido por la báscula sería inferior al peso real. Su peso aparente sería igual al peso real menos la fuerza ficticia ('''figura 4'''). Es decir:
<center><math>P_a = P_r - F_f = m \cdot g - m \cdot a' = m \cdot (g - a') = m \cdot a</math></center>
▲
== Desarrollo formal en mecánica newtoniana ==
Sean S y S' dos sistemas de referencia como los mostrados en la '''figura 5'''. Consideremos que S sea un sistema fijo y que S' sea un sistema de referencia no inercial con movimiento acelerado respecto al primero (translación y/o rotación).
Sean S y S' da publicación | autor=Di Bartolo, Cayetano |año=2004) |título=Mecánica Clásica 1 |publicación=Tema 1: Leyes de Newton. Referenciales no inerciales |editorial=Departamento de Física. Universidad Simón Bolívar |url=http://www.fis.usb.ve/~cdibarto/Docencia/clasica/tema01.pdf |formato=[[PDF]]}}</ref><ref>{{cita publicación | autor=Barrachina, Raúl Oscar |año=2004 |título=Apuntes de Mecánica Clásica |publicación=Capítulo 3: Sistemas de coordenadas rotantes |editorial= Instituto Balseiro. Argentina |url=http://www.raulbarrachina.com.ar/otros/mecanica/apuntes/apunte003.pdf |formato=[[PDF]]}}</ref> que las derivadas temporales de un vector cualquiera <math>\,\vec{b}\,</math> respecto a los dos sistemas de referencia anteriores, S y S', están relacionadas por la expresión:▼
{{Ecuación|<math>\left [ \frac{d \vec{b}}{dt} \right ]_S = \left [ \frac{d \vec{b}}{dt} \right ]_{S'} + \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{b}</matmath> es la velocidad angular del sistema de referencia S' respecto al sistema de referencia S.▼
[[Archivo:SistemasDeReferencia2.svg|thumbnail|center|250px|'''Figura 5'''. Sistemas de referencia.]]
▲
▲{{Ecuación|<math>\left [ \frac{d \vec{b}}{dt} \right ]_S = \left [ \frac{d \vec{b}}{dt} \right ]_{S'} + \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{b}</
donde los subíndices S y S' representan el sistema de referencia con respecto al cual se realiza la derivación, y <math>\vec{\omega}_{S'|S}</math> es la velocidad angular del sistema de referencia S' respecto al sistema de referencia S.
La ecuación (1) nos va a ser de utilidad para obtener la ecuación correspondiente a la segunda ley de Newton para el sistema de referencia no inercial S'. Esto será lo que hagamos a continuación.
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que puede escribirse también como la ecuación que relaciona las velocidades:
{{Ecuación|<math> \vec{v} =
Volviendo a derivar y aplicando de nuevo la ecuación (1), obtenemos la expresión:
{{Ecuación|<math> \left [ \frac{d \vec{v}}{dt} \right ]_S = \left [ \frac{d \vec{v\,'}}{dt} \right ]_S + \; \frac{d \vec{\omega}_{S'|S}}{dt} \times \vec{r\,'} \; + \; \vec{\omega}_{S'|S} \times \left [ \frac{d \vec{r\,'}}{dt} \right ]_{S} + \left [ \frac{d \vec{v}_{O'}}{dt} \right ]_S </math>| |center}}
{{Ecuación|<math> = \left [ \frac{d \vec{v\,'}}{dt} \right ]_{S'} + \; \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{v\,'} \; + \; \frac{d \vec{\omega}_{S'|S}}{dt} \times \vec{r\,'} \; + \; \vec{\omega}_{S'|S} \times \left ( \left [ \frac{d \vec{r\,'}}{dt} \right ]_{S'} + \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{r\,'} \right ) + \left [ \frac{d \vec{v}_{O'}}{dt} \right ]_S </math>| |center}}
que puede reescribirse como:
{{Ecuación|<math> \vec{a} = \vec{a\,'} + 2 \; \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{v\,'} + \vec{\alpha} \times \vec{r\,'} + \vec{\omega}_{S'|S} \times \left ( \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{r\,'} \right ) + \vec{a}_{O'} </math>| |center}}
con lo que la aceleración del objeto en el sistema de referencia no inercial será:
{{Ecuación|<math> \vec{a\,'} = \vec{a} - 2 \; \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{v\,'} - \vec{\alpha} \times \vec{r\,'} - \vec{\omega}_{S'|S} \times \left ( \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{r\,'} \right ) - \vec{a}_{O'} </math>|5|center}}
Y multiplicando por la masa se obtiene finalmente la segunda ley de Newton para el sistema de referencia no inercial:
{{Ecuación|<math> \vec{F'} = m \vec{a\,'} = m \vec{a} - 2 m \; \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{v\,'} - m \vec{\omega}_{S'|S} \times \left ( \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{r\,'} \right ) - m \vec{\alpha} \times \vec{r\,'} - m \vec{a}_{O'} </math>|6|center}}
Por otro lado, la expresión para la segunda ley de Newton en el sistema de referencia inercial es:
{{Ecuación|<math> \vec{F} = m \vec{a} </math>|7|center}}
Comparando las ecuaciones (6) y (7) se observa que para el caso del sistema referencia no inercial han aparecido cuatro términos, conocidos como [[Fuerza ficticia|fuerzas ficticias]] por no deberse a la interacción del objeto con otros cuerpos. El término <math>-2 m \; \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{v\,'}</math> es conocido como [[fuerza de Coriolis]], <math>- m \vec{\omega}_{S'|S} \times \left ( \vec{\omega}_{S'|S} \times \vec{r\,'} \right )</math> se conoce como [[fuerza centrífuga]], el término <math>- m \vec{\alpha} \times \vec{r\,'}</math> es una fuerza que sólo estará presente en los sistemas con [[aceleración angular]], y <math>- m \vec{a}_{O'}</math> es debida a la aceleración del origen de S' respecto a S.
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