Diferencia entre revisiones de «Función (matemática)»
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* la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
* la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
* la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.
Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un [[Diagrama de Venn]], el conjunto universal '''U''', representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto '''A''' es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto '''B''' aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.
=== Aplicación inyectiva y no sobreyectiva ===
[[Archivo:Aplicación 2 inyectiva no sobreyectiva.svg |right|Aplicación inyectiva y no sobreyectiva]]
En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.
En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a '''A''' y no pertenecen a '''B''', esto es las que pertenecen a la diferencia de '''A''' y '''B''': '''A-B'''.
En estas aplicaciones la cardinalidad de '''X''' es siempre menor que la de '''Y''', esto es el conjunto '''Y''' tendrá mayor número de elementos que '''X''' cuando tratamos de compararlos.
==== Ejemplo ====
en el diagrama de la figura:
: todos los elementos de '''Y''', que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
: el elemento '''d''' de '''Y''', no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.
==== Segundo ejemplo ====
[[Archivo:Correspon 1402.svg|right|220px]]
Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
Sobre el conjunto de caras pintadas:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
Asociando cada pincel con la cara correspondiente:
: [[Archivo:Correspon 30.svg|120px]]
Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.
=== Aplicación no inyectiva y sobreyectiva ===
[[Archivo:Aplicación 2 no inyectiva sobreyectiva.svg |right|Aplicación no inyectiva y sobreyectiva]]
Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a '''A''' y si pertenecen a '''B''', esto es las que pertenecen a la diferencia de '''B''' y '''A''': '''B-A'''.
Para esta aplicación el conjunto '''X''' ha de tener mayor número de elementos que '''Y''', la cardinalidad de '''X''' ha de ser mayor que la de '''Y'''.
==== Ejemplo ====
en el diagrama de la figura:
: el elemento '''c''' de '''Y''', tiene dos orígenes: el '''3''' y el '''4''', por lo que esta aplicación no es inyectiva.
: todos los elementos de '''Y''', tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
==== Segundo ejemplo ====
[[Archivo:Correspon 1502.svg|right|220px]]
Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.
Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.
=== Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva) ===
[[Archivo:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva.svg|right|Aplicación biyectiva]]
Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.
En el diagrama de Venn el conjunto '''A''' es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto '''B''' el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de '''A''' y '''B'''.
Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto '''X''' e '''Y''' tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de '''X''' es la misma que la de '''Y''', esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:
* Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de '''X''' es igual a la de '''Y'''.
==== Ejemplo ====
[[Archivo:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|right|f(x)= 2x]]
en el diagrama de la figura:
: todos los elementos de '''Y''', que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
: todos los elementos de '''Y''', tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:
: <math> X = \{1, 2, 3, ... \} \,</math>
y por conjunto final el de los números naturales pares:
: <math> Y = \{2, 4, 6, ... \} \,</math>
Podemos ver que la relación
: <math> f: X \rightarrow Y </math>
: <math> f: x \mapsto 2x </math>
Por el que a cada número natural '''x''' de '''X''', le asociamos un número par '''2x''' de '''Y''', se cumple:
# '''f''': es una aplicación, dado que a cada uno de los valores '''x''' de '''X''' le corresponde un único valor '''2x''' de '''Y'''.
# esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par '''2x''' de '''Y''' le corresponde un único valor '''x''' de '''X'''.
# y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen
Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.
==== Segundo ejemplo ====
[[Archivo:Correspon 1602.svg|right|220px]]
Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
y el de caras como conjunto final:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.
Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.
=== Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva ===
[[Archivo:Aplicación 2 no inyectiva no sobreyectiva.svg |right|Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva]]
Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.
Para esta aplicación los conjuntos '''X''' e '''Y''' no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a '''A''' y no pertenecen a '''B''', esto es las que no pertenecen a la unión de '''A''' y '''B'''.
==== Ejemplo ====
en el diagrama de la figura:
: el elemento '''b''' de '''Y''', tiene dos orígenes: '''1''' y '''2''', esto hace que esta aplicación no sea inyectiva
: el elemento '''a''' de '''Y''', no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva
==== Segundo ejemplo ====
[[Archivo:Correspon 1302.svg|right|220px]]
Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
y como conjunto final el de caras coloreadas:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Archivo:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C4.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.
Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.
=== Resumen ===
<center>
{| border="1" style="text-align: center;"
| [[Archivo:Surjection.svg]]<br/>Sobreyectiva, no inyectiva
| [[Archivo:Injection.svg]]<br/>Inyectiva, no sobreyectiva
| [[Archivo:Bijection.svg]]<br/>Biyectiva
| [[Archivo:Total function.svg]]<br/>No sobreyectiva, no inyectiva
|}
</center>
== Álgebra de las funciones ==
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Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si <math>f:x \mapsto x+1</math> y <math>g:x \sqrt{x}</math>, podemos considerar a <math>h: x \mapsto \sqrt{x+1}</math> como la composición de las funciones ''g'' y ''f'', a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, ''f'' es una función de <math>{\mathbb R}</math> en <math>{\mathbb R}</math> cuya imagen es todo <math>{\mathbb R}</math>. Por su parte, ''g'' es una función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de ''f'' sea un subconjunto del dominio de '''g''. Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función ''h'' como una composiciónd e ''g'' con ''f'', suponemos que ''f'' está restringido al intervalo <math>[-1,\infty)</math>.
== Funciones (con valores) Reales ==
Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de númerosson particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término '''función''' mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina '''aplicaciones'''.
Llamamos ''función real'' o función con valores reales'' a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.
=== Álgebra de Funciones ===
Sea <math>X</math> un conjunto culaquiera no vacío y sea <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> el conjunto formado por todas las funciones de <math>X</math> en <math>\mathbb R</math>.
Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math>, como veremos a continuación.
Sean <math>f,g: X \rightarrow {\mathbb R}</math> elementos de <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math>. Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por
*<math>f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> Suma de Funciones.
*<math>f-g: x \mapsto f(x) - g(x)</math> Resta de Funciones.
*<math>fg: x \mapsto f(x)g(x)</math> Producto de Funciones.
Extendemos relaciones punto a punto.
*<math>f<g \iff \forall x, f(x) < g(x)</math>.
La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math>. Indicamos a continuación aquellas más importantes.
* La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante <math>x \mapsto 0</math>, con opuesto aditivo <math>-f</math> para cada función ''f''.
* La resta es tal que <math>f-g = f + (-g)</math>.
* La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante <math>x \mapsto 1</math>, pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
* La multiplicación es distributiva respecto a la suma.
Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, ''Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en '' <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math>. En efecto, supongamos que <math>X = \{a,b\}</math> y definamos <math>f,g:X \rightarrow {\mathbb R}</math>
tales que <math>f(a)=1, f(b)=0</math> y <math>g(a)=0 y g(b)=1</math>. Se ve, inmediatamente, que <math>fg</math> es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.
El conjunto <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto ''X''.
* Sea <math>X=\{1,2\}\,</math>. Entonces, cada función de <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> define una pareja de números <math>f(1), f(2)</math> que si consideramos el orden natural en ''X'', podemos escribir como el para ordenado <math>(f(1), f(2))</math>. Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con <math>{\mathbb R}^2</math>.
* Sea <math>X=\{1,2,3\}\,</math> Razonado como arriba, podemos identificar a <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> con <math>{\mathbb R}^3</math>.
* Sea <math>X=\{1,2,3, \ldots, n\}</math> Razonado como arriba, podemos identificar a <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> con <math>{\mathbb R}^n</math>.
Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.
* Sea <math>X = {\mathbb N}</math>, los Naturales. En este caso, <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto cono la suma y multiplciación usual de sucesiones.
== Funciones Numéricas ==
Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellasque aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.
=== Funciones acotadas ===
*Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: '''f(x) = sen(x)''' y '''g(x) = cos(x)''' tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está '''acotada superior o inferiormente''', respectivamente. Por ejemplo, '''f("x")=|x|''' tiene por conjunto imagen <math>[0,+\infty[\;\!</math>, por lo que está acotada inferiormente.
=== Funciones pares e impares ===
{{AP|Función par}}
{{AP|Función impar}}
Se dice que una función es '''par''' cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si
<math>x>\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))</math> </center>
Una función es '''impar''' si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si
<center> <math>\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(-x) = -f(x))</math> </center>
Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.
=== Funciones monótonas ===
{{AP|Función monótona}}
#La función f es '''estrictamente creciente''' en <math>[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)</math>
#f es '''estrictamente decreciente''' en <math>[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)</math>
Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es '''inyectiva'''.
#f es '''creciente''' en <math>[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)</math>
#f es '''decreciente''' en <math>[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)</math>
Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es '''monotona'''.
=== Funciones periódicas ===
{{AP|función periódica}}
Una función es periódica si se cumple: <math>f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,</math> donde <math>T\,</math> es el [[Número periódico|período]].
En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: <math>f(x) = -f\left(x + \frac{T}{2}\right)\,</math>.
Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.
=== Funciones cóncavas y convexas ===
{{AP|Función convexa}}
{{AP|Función cóncava}}
[[Archivo:Convexidad desigualdad.png|thumb|[[Función convexa]].]]
Una función es [[Convexidad|convexa]] en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es [[Concavidad|cóncava]] en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones '''concava hacia arriba''' y '''concava hacia abajo''' para evitar las ambigüedades.
Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las [[Derivada|derivadas sucesivas de la función]].
=== Funciones reales y funciones discretas ===
{{AP|Función real}}
{{AP|Función discreta}}
*Si el [[dominio de definición|dominio]] de una función es un [[intervalo]] de la [[recta real]] la función se denominará ''real''. En cambio, si la función está definida para los [[número entero|números enteros]] se denominará ''función discreta''. Un ejemplo de una ''función discreta'' son las [[sucesión matemática|sucesiones]].
== Véase también ==
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