Diferencia entre revisiones de «Geometría»
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Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el [[sistema de posicionamiento global]] (en especial cuando se la considera en combinación con el [[análisis matemático]] y sobre todo con las [[Ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]]) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la [[geometría descriptiva]], del [[dibujo técnico]] e incluso en la fabricación de artesanías).
== Axiomas, definiciones y teoremas ==
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los [[sistema formal|sistemas axiomáticos]].
El primer sistema axiomático fue el de [[Euclides]], pero hoy se sabe que este [[Geometría euclidiana|sistema euclídeo]] es incompleto. [[David Hilbert]] propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.
Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando se axiomatiza algo, se convierte ese comportamiento en el objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan [[modelo]]s).
Esto significa que en adelante, las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo ''tradicional''.
Por ejemplo, si en la noción de "punto" se considera el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado:
:<math>f(x)= ax^2 + bx +c \,</math>
si una recta es entonces una familia de polinomios o en lo consiguiente una familia de binomios o monomios de la siguiente manera:
:<math>\{ \lambda \cdot f(x): \lambda \in \mathbb{R}\}</math>
y un plano es entendido como el conjunto:
:<math>\{ \lambda \cdot f(x) + \mu \cdot g(x) : \lambda, \mu \in \mathbb{R} \}</math>
es posible ver que '''todos''' los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo.
=== Axiomas ===
En geometría sintética, los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos, definidos en función al punto, la recta y el plano. Se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función al punto; no tiene sentido hablar de recta o plano. <math>f(x)</math> puede definir cualquier función llámese recta, circunferencia, cuadrado de la circunferencia, planos, entre otros.
== Tipos de geometría ==
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