Diferencia entre revisiones de «Límite (matemática)»
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=== Definición rigurosa ===
Informalmente, se dice que '''el límite de la función f(''x'') es ''L'' cuando ''x'' tiende a ''p'' ''', y se escribe
{{ecuación|<math> \lim_{x\to p} \, \, f(x) = L</math>||center}}
si se puede encontrar un ''x'' suficientemente cerca de ''p'' tal que el valor de f(''x'') sea próximo a L. Formalmente, utilizando términos [[lógica|lógico-matemáticos]]:
{{ecuación|
<math>
f(x) \to L \Longleftrightarrow\forall \epsilon > 0</math> <math> \exists \delta > 0 : 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.
</math>
||center}}
Esta definición se denomina frecuentemente '''definición [[épsilon]]-[[Δ|delta]]''' de límite, y se lee como:
{{cita|"El límite de la función ''f(x)'', cuando ''x'' tiende a ''p'', es ''L''".}}
=== Límites notables ===
Como ejemplo de '''límites notables''' tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
* <math> {\lim_{x \to \infty} \left (1+ \frac {1}{x} \right )^x } =\, e </math> ([[número e]])
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} =\, 1 </math> (al igual que su recíproca)
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =\, 1 </math> (al igual que su recíproca)
==== Demostración ====
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la [[inecuación]] sen(''x'') < x < tan(''x'') en el intervalo (0,π/2), que relaciona ''x'' con las funciones [[función seno|seno]] y [[tangente]]. Luego dividimos por sen(''x''), obteniendo:
:<math>1 < \frac{x}{\operatorname{sen\,}(x)} < \frac{1}{\cos(x)}</math>
Elevando los términos de la inecuación a -1:
:<math>\cos(x) < \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1</math>
Calculando el límite cuando ''x'' tiende a 0:
:<math>\lim_{x\to 0} \cos(x) < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x} < \lim_{x\to 0} 1 </math>
Lo que es igual a:
:<math>1 < \frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x} < 1</math>
Aplicando el [[teorema del sándwich]], el límite se ve forzado a valer 1:
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x}=1</math>
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:
:<math>
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(x)}=
1 \cdot 1 = 1
</math>
El límite que obtiene el [[número e]] se demuestra de manera análoga, desarrollando el [[binomio de Newton]] y aplicando el límite cuando ''x'' tiende a [[infinito]].
== Límite de una sucesión ==
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