Revisión del 18:48 19 jul 2009 editar 88.7.37.120 (discusión) Página blanqueada ← Ir a diferencia anterior		Revisión del 18:48 19 jul 2009 editar deshacer Diegusjaimes (discusión · contribs.) 330 104 ediciones m Revertidos los cambios de 88.7.37.120 a la última edición de Diegusjaimes Ir a siguiente diferencia →
Línea 1: En [[matemáticas]], un '''número cuadrado''' a veces se denomina un '''cuadrado perfecto''' es la multiplicación de un [[entero]] por sí mismo. En otras palabras, un número cuya [[raíz cuadrada]] es un número [[entero]]. De esta forma, por ejemplo, 9 es un cuadrado ya que puede ser escrito como 3 × 3. Si los [[número racional\|números racionales]] fueran incluidos en la definición, entonces la razón de dos enteros cuadrados es igualmente un cuadrado (por ejemplo: 4/9 = 2/3 × 2/3). Un número entero positivo que no tiene [[divisor]]es cuadrados (excepto el 1) se denomina [[número libre de cuadrados]]. == Ejemplos == Los primeros 50 cuadrados ({{OEIS\|A000290}}) son: 0<sup>2</sup> = 0 <div style="float:left; padding: 1em;"> :1<sup>2</sup> = 1 :2<sup>2</sup> = 4 :3<sup>2</sup> = 9 :4<sup>2</sup> = 16 :5<sup>2</sup> = 25 :6<sup>2</sup> = 36 :7<sup>2</sup> = 49 :8<sup>2</sup> = 64 :9<sup>2</sup> = 81 :10<sup>2</sup> = 100</div> <div style="float:left; padding: 1em;"> :11<sup>2</sup> = 121 :12<sup>2</sup> = 144 :13<sup>2</sup> = 169 :14<sup>2</sup> = 196 :15<sup>2</sup> = 225 :16<sup>2</sup> = 256 :17<sup>2</sup> = 289 :18<sup>2</sup> = 324 :19<sup>2</sup> = 361 :20<sup>2</sup> = 400 </div> <div style="float:left; padding: 1em;"> :21<sup>2</sup> = 441 :22<sup>2</sup> = 484 :23<sup>2</sup> = 529 :24<sup>2</sup> = 576 :25<sup>2</sup> = 625 :26<sup>2</sup> = 676 :27<sup>2</sup> = 729 :28<sup>2</sup> = 784 :29<sup>2</sup> = 841 :30<sup>2</sup> = 900 </div> <div style="float:left; padding: 1em;"> :31<sup>2</sup> = 961 :32<sup>2</sup> = 1024 :33<sup>2</sup> = 1089 :34<sup>2</sup> = 1156 :35<sup>2</sup> = 1225 :36<sup>2</sup> = 1296 :37<sup>2</sup> = 1369 :38<sup>2</sup> = 1444 :39<sup>2</sup> = 1521 :40<sup>2</sup> = 1600 </div> <div style="float:left; padding: 1em;"> :41<sup>2</sup> = 1681 :42<sup>2</sup> = 1764 :43<sup>2</sup> = 1849 :44<sup>2</sup> = 1936 :45<sup>2</sup> = 2025 :46<sup>2</sup> = 2116 :47<sup>2</sup> = 2209 :48<sup>2</sup> = 2304 :49<sup>2</sup> = 2401 :50<sup>2</sup> = 2500 </div> <br clear="both" /> == Propiedades == El número ''m'' es un cuadrado de un número si y sólo si uno puede colocar ''m'' puntos en un cuadrado: La fórmula más general para el ''n''-ésimo número cuadrado es ''n''<sup>2</sup>. Este resultado es también igual a la suma de los primeros ''n'' [[números impares]], tal y como puede verse en :<math>n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)</math> como puede ser visto en las ilustraciones superiores, donde un cuadrado resulta de los anteriores mediante la adicción de un número impar de puntos (marcado con una '+'). De esta forma, por ejemplo se tiene que: 5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. El [[teorema de cuatro cuadrados de Lagrange]] establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4<sup>''k''</sup>(8''m'' + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la [[factorización en números primos]] no contiene potencias impares de la forma 4''k'' + 3. Esta es una generalización del [[problema de Waring]]. Un número cuadrado puede ser terminado en los dígitos 00,1,4,6,9, o 25 en base 10, como sigue: # Si el último dígito de un [[número]] es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente [[dígito]]s deben ser también un cuadrado. # Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro. # Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par. # Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por su precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro. # Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser '''impar'''. # Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56. == Cuadrados como sumas == El ''n''-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (''n'' − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (''n'' − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (<math>n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2</math>). Por ejemplo, 2×5<sup>2</sup> − 4<sup>2</sup> + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6<sup>2</sup>. Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + ''n'' − 1 + ''n'' − 1 + ''n''. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 4<sup>2</sup> es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de [[tres en raya]]). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 50<sup>2</sup> + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos consecutivos [[número triangular\|números triangulares]]. La suma de dos consecutivos números cuadrados es un [[número cuadrado centrado]]. Cada cuadrado impar es además un [[número octogonal centrado]]. == Números cuadrados impares y pares == Los cuadrados de números pares, desde (2''n'')<sup>2</sup> = 4''n''<sup>2</sup>. Los cuadrados de números impares desde (2''n'' + 1)<sup>2</sup> = 4(''n''<sup>2</sup> + ''n'') + 1. De esto se sigue que las raíces cuadradas de los cuadrados de los números pares son pares, y las raíces cuadradas de los números impares son igualmente impares. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (Véase [[raíz cuadrada de 2]]). == Teorema de Chen == [[Chen Jingrun]] demostró en 1975 que siempre existe un número ''p'', que es o bien [[número primo\|primo]] o bien [[número semiprimo\|producto de dos primos]], entre ''n''<sup>2</sup> y (''n'' + 1)<sup>2</sup>. Véase también [[conjetura de Legendre]]. == Bibliografía == * Conway, J. H. and Guy, R. K. ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X == Véase también == * [[Paradoja de Galileo]] == Enlaces externos == * [http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM] es un applet JAVA que descompone un [[número natural]] dado en la suma de cuatro cuadrados. [[Categoría:Aritmética]] [[da:Kvadrattal]] [[de:Quadratzahl]] [[en:Square number]] [[eo:Kvadrata nombro]] [[fa:مربع کامل]] [[fi:Neliöluku]] [[fr:Nombre carré]] [[he:מספר ריבועי]] [[hu:Négyzetszám]] [[it:Quadrato perfetto]] [[ja:平方数]] [[ko:사각수]] [[la:Numerus quadratus]] [[pt:Número quadrado]] [[ru:Квадрат (число)]] [[simple:Square number]] [[sk:Štvorec (číslo)]] [[sl:Kvadratno število]] [[ta:வர்க்கம் (கணிதம்)]] [[vi:Số chính phương]] [[yi:קוואדראטצאל]] [[zh:平方数]]

Diferencia entre revisiones de «Cuadrado perfecto»