Diferencia entre revisiones de «Matriz (matemática)»
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En [[matemáticas]], una '''matriz''' es una tabla de [[número]]s consistente en [[Anillo (matemáticas)|cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse]].
Las matrices se utilizan para describir [[sistemas de ecuaciones lineales]], realizar un seguimiento de los [[coeficiente]]s de una [[aplicación lineal]] y registrar los datos que dependen de varios parámetros.
Las matrices se describen en el campo de la [[teoría de matrices]].
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del [[álgebra lineal]].
== Definiciones y notaciones ==
Una '''matriz''' es una tabla cuadrada o rectangular de números (llamados '''elementos''' o '''entradas''' de la matriz) ordenados en '''filas''' y '''columnas''', donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con ''m'' filas y ''n'' columnas se le denomina matriz ''m''-por-''n'' (escrito ''m''×''n''), y a ''m'' y ''n'' '''dimensiones''' de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz ''m''-por-''n'' tiene un '''orden''' de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila ''i''-ésima y la columna ''j''-ésima se le llama elemento ''i,j'' o elemento (''i'',''j'')-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz ''A'' que se encuentra en la fila ''i''-ésima y la columna ''j''-ésima se le denota como ''a''<sub>i,j</sub> o ''a''[''i,j'']. Notaciones alternativas son '''A'''[''i,j''] o '''A'''<sub>''i,j''</sub>. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así '''A''' es una matriz, mientras que ''A'' es un [[escalar]].
Normalmente se escribe <math>A:=(a_{i,j})_{m \times n}</math> para definir una matriz ''A'' ''m'' × ''n'' con cada entrada en la matriz ''A''[''i,j''] llamada ''a''<sub>''ij''</sub> para todo 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' y 1 ≤ ''j'' ≤ ''n''. Sin embargo, la convención del inicio de los índices ''i'' y ''j'' en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ ''i'' ≤ ''m'' − 1 y 0 ≤ ''j'' ≤ ''n'' − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo ''vector'', y se interpreta como un elemento del [[espacio euclídeo]]. Una matriz 1 × ''n'' (una fila y ''n'' columnas) se denomina [[vector fila]], y una matriz ''m'' × 1 (una columna y ''m'' filas) se denomina [[vector columna]].
== Ejemplo ==
La matriz
: <math>A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{bmatrix}</math>
es una matriz 4x3. El elemento ''A''[2,3] o ''a''<sub>2,3</sub> es 7.
La matriz
: <math> R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} </math>
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
== Operaciones básicas ==
=== Suma o adición ===
Dadas las matrices ''m''-por-''n'' ''A'' y ''B'', su '''suma''' ''A + B'' es la matriz ''m''-por-''n'' calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (''A + B'')[''i, j''] = ''A''[''i, j''] + ''B''[''i, j''] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 5 \\
7 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+1 & 3+0 & 2+5 \\
1+7 & 0+5 & 0+0 \\
1+2 & 2+1 & 2+1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 7 \\
8 & 5 & 0 \\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}
</math>
==== Propiedades ====
* Asociativa
Dadas las matrices ''m''×''n'' ''A'', ''B'' y ''C''
:A + (B + C) = (A + B) + C
* Conmutativa
Dadas las matrices ''m''×''n'' ''A'' y ''B''
:A + B = B + A
* Existencia de matriz cero o matriz nula
:A + 0 = 0 + A = A
* Existencia de matriz opuesta
con -A = [-a<sub>ij</sub>]
:A + (-A) = 0
=== Producto por un escalar ===
Dada una matriz ''A'' y un [[escalar]] ''c'', su '''producto''' ''cA'' se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de ''A'' (i.e. (''cA'')[''i'', ''j''] = ''cA''[''i'', ''j''] ).
==== Ejemplo ====
: <math>2
\begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{bmatrix}
</math>
==== Propiedades ====
Sean ''A'' y ''B'' matrices y ''c'' y ''d'' escalares.
* '''Clausura:''' Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
* '''Asociatividad:''' (cd)A = c(dA)
* '''Elemento Neutro:''' 1·A = A
* '''Distributividad:'''
** '''De escalar:''' c(A+B) = cA+cB
** '''De matriz:''' (c+d)A = cA+dA
=== Producto ===
[[Archivo:Matrix multiplication diagram.svg|right|200px|thumb|Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices '''A''' y '''B''' dando como resultado la matriz '''AB'''.]]
{{AP|Producto de matrices}}
El '''producto''' de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si ''A'' es una matriz ''m''×''n'' y ''B'' es una matriz ''n×p'', entonces su '''producto matricial''' ''AB'' es la matriz ''m×p'' (''m'' filas, ''p'' columnas) dada por:
:<math> (AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \!\ </math>
para cada par ''i'' y ''j''.
Por ejemplo:
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\
(-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{bmatrix}
</math>
==== Propiedades ====
Si los elementos de la matriz pertenecen a un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]], y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
* ''Propiedad asociativa'': ('''AB''')'''C''' = '''A'''('''BC''').
* ''Propiedad distributiva por la derecha'': ('''A''' + '''B''')'''C''' = '''AC''' + '''BC'''.
* ''Propiedad distributiva por la izquierda'': '''C'''('''A''' + '''B''') = '''CA''' + '''CB'''.
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, '''AB ≠ BA'''. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente '''A / B''', no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de [[matriz inversa]], sólo aplicable a las [[Matriz cuadrada|matrices cuadradas]].
=== Aplicaciones lineales ===
Las matrices pueden representar convenientemente [[aplicaciones lineales]] (también conocidas como "transformaciones lineales") entre dos [[espacios vectoriales]] de dimensión finita. Así, si '''ℝ'''<sup>''n''</sup> es el [[espacio euclídeo]] ''n''-dimensional cuyos vectores se pueden representar como [[vectores columna]] (matrices ''n''-por-1), para cada aplicación lineal ''f'' : '''ℝ'''<sup>''n''</sup> → '''ℝ'''<sup>''m''</sup> existe una única matriz '''A''' ''m'' por ''n'' de tal forma que
:<math>f(\mathbf x) = \mathbf {Ax}</math>
para cada vector '''x''' de '''ℝ'''<sup>''n''</sup>.
Se dice que la matriz '''A''' "representa" la aplicación lineal ''f'', o que '''A''' es la '''[[matriz coordenada]]''' de ''f''.
El producto de matrices claramente corresponde a la [[composición de funciones|composición]] de las aplicaciones. Si la matriz ''k'' por ''m'' '''B''' representa otra aplicación lineal ''g'' : '''ℝ'''<sup>''m''</sup> → '''ℝ'''<sup>''k''</sup>, entonces la composición ''g'' <small>o</small> ''f'' se representa por '''BA''':
:<math>(g \circ f) (\mathbf x) = g (f(\mathbf x)) = g(\mathbf{Ax}) = \mathbf B (\mathbf {Ax}) = (\mathbf {BA}) \mathbf x \,.</math>
Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices.
Más en general, una aplicación lineal de un espacio vectorial ''n''-dimensional en otro espacio vectorial ''m''-dimensional (no necesariamente '''ℝ'''<sup>''n''</sup>) se representa por una matriz ''m'' por ''n'', a condición de que se haya elegido una [[Base (álgebra lineal)|base]] para cada uno de ellos.
=== Rango ===
{{AP|Rango de una matriz}}
El [[rango de una matriz]] '''A''' es la [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] de la [[Imagen (matemáticas)|imagen]] de la aplicación lineal representada por '''A''', que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de '''A'''. También puede ser definido sin referencia al álgebra lineal de la siguiente manera: el rango de una matriz ''m'' por ''n'' '''A''' es el más pequeño número ''k'' de tal manera que '''A''' puede escribirse como un producto '''BC''' donde '''B''' es una matriz ''m'' por ''k'' y '''C''' es una matriz ''k'' por ''n'' (aunque ésta no es una manera práctica de calcular el rango).
=== Transpuesta ===
{{AP|Matriz transpuesta}}
La [[Matriz transpuesta|transpuesta]] de una matriz ''m''-por-''n'' '''A''' es la matriz ''n''-por-''m'' '''A'''<sup>''T''</sup> (algunas veces denotada por '''A'''<sup>t</sup>) formada al intercambiar las filas y columnas, i.e.
:<math>(\mathbf{A}^T)_{i,j} = \mathbf{A}_{j,i}. \,</math>
La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades:
:<math> \begin{align}
& (\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}, \\
& (\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T, \\
& (\mathbf{A} \mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T.
\end{align} </math>
Si '''A''' describe una aplicación lineal respecto a dos bases, entonces la matriz '''A'''<sup>''T''</sup> describe la [[transpuesta de una aplicación lineal]] respecto a las bases del [[espacio dual]].
== Matrices cuadradas y definiciones relacionadas ==
Una '''[[matriz cuadrada]]''' es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas ''n''-por-''n'' junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un [[anillo (matemáticas)|anillo]] que generalmente no es [[anillo conmutativo|conmutativo]].
M(''n'','''R'''), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un [[álgebra asociativa]] real unitaria. M(''n'','''C'''), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.
La '''[[matriz identidad]] I'''''<sub>n</sub>'' de orden ''n'' es la matriz ''n'' por ''n'' en la cual todos los elementos de la [[diagonal principal]] son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones '''MI'''<sub>''n''</sub> = '''M''' y '''I'''<sub>''n''</sub>'''N''' = '''N''' para cualquier matriz '''M''' ''m'' por ''n'' y '''N''' ''n'' por ''k''.
Por ejemplo, si ''n'' = 3:
: <math>
\mathbf{I}_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
.</math>
La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman '''[[matriz invertible|matrices invertibles]]''' o '''matrices no singulares'''. Una matriz '''A''' ''n'' por ''n'' es invertible si y sólo si existe una matriz '''B''' tal que
: '''AB''' = '''I'''<sub>''n''</sub> = '''BA'''.
En este caso, '''B''' es la '''[[matriz inversa]]''' de '''A''', identificada por '''A'''<sup>-1 </sup>.
El conjunto de todas las matrices invertibles ''n'' por ''n'' forma un [[grupo (matemáticas)|grupo]] (concretamente un [[grupo de Lie]]) bajo la multiplicación de matrices, el [[grupo lineal general]].
Si λ es un número y '''v''' no es un vector nulo tal que '''Av''' = λ'''v''', entonces se dice que '''v''' es un [[vector propio]] de '''A''' y que λ es su [[valor propio]] asociado. El número λ es un valor propio de '''A''' si y sólo si '''A'''−λ'''I'''<sub>''n''</sub> no es invertible, lo que sucede si y sólo si ''p''<sub>'''A'''</sub>(λ) = 0, donde ''p''<sub>'''A'''</sub>(''x'') es el [[polinomio característico]] de '''A'''. ''p''<sub>'''A'''</sub>(''x'') es un [[polinomio]] de grado ''n'' y por lo tanto, tiene ''n'' raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho ''n'' valores propios complejos.
El [[determinante (matemática)|determinante]] de una matriz cuadrada '''A''' es el producto de sus ''n'' valores propios, pero también puede ser definida por la ''[[Fórmula de Leibniz para el cálculo de determinantes|fórmula de Leibniz]]''. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.
El algoritmo de [[eliminación gaussiana]] puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver [[sistema de ecuaciones lineales|sistemas de ecuaciones lineales]].
La [[traza de una matriz|traza]] de una [[matriz cuadrada]] es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus ''n'' valores propios.
== Las matrices en la Computación ==
Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar [[grafo]]s, y son muy utilizadas en el [[Análisis numérico|cálculo numérico]].
== Historia ==
El origen de las matrices es muy antiguo. Un [[cuadrado mágico]], 3 por 3, se registra en la [[literatura china]] hacia el [[años 650 a. C.|650 a. C.]]<ref name=Swaney>Swaney, Mark. [http://www.arthurmag.com/magpie/?p=449 History of Magic Squares].</ref>
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver [[Ecuación lineal|ecuaciones lineales]]. Un importante texto matemático [[China|chino]] que proviene del año [[300 a. C.|300 a. C.]] a [[200 a. C.|200 a. C.]], ''Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas'' (''Jiu Zhang Suan Shu''), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un [[Sistema lineal de ecuaciones|sistema de ecuaciones simultáneas]].<ref>{{cita libro|autor=Shen Kangshen et al. (ed.)|título=Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary|editorial=Oxford University Press|año=1999}} cited by{{cita libro|título=Linear Algebra with Applications|autor=Otto Bretscher|editorial=Prentice-Hall|año=2005|edición=3rd ed.|páginas=1}}</ref> En el capítulo séptimo, "''Ni mucho ni poco''", el concepto de [[Determinante (matemática)|determinante]] apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático [[Japón|japonés]] [[Seki Kowa]] en [[1683]] y el matemático [[Alemania|alemán]] [[Gottfried Leibniz]] en [[1693]].
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos [[Mundo árabe|árabes]], posiblemente desde comienzos del [[siglo VII]], quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la [[India]], junto con otros aspectos de las matemáticas [[combinatoria]]s. Todo esto sugiere que la idea provino de [[China]]. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en [[Bagdad]] en el [[983]], en la ''Enciclopedia de la Hermandad de Pureza'' (''Rasa'il Ihkwan al-Safa'').<ref name=Swaney/>
Después del desarrollo de la teoría de [[Determinante (matemática)|determinantes]] por Seki Kowa y Leibniz, a finales del [[siglo XVII]], [[Gabriel Cramer|Cramer]] presentó en [[1750]] la ahora denominada [[regla de Cramer]]. [[Carl Friedrich Gauss]] y [[Wilhelm Jordan]] desarrollaron la [[eliminación de Gauss-Jordan]] en el [[siglo XIX]].
El término "'''matriz'''" fue acuñado en [[1848]], por [[James Joseph Sylvester|J. J. Sylvester]]. En [[1853]], [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] hizo algunos aportes a la teoría de matrices. [[Arthur Cayley|Cayley]] introdujo en [[1858]] la '''notación matricial''', como forma abreviada de escribir un sistema de ''m'' ecuaciones lineales con ''n'' incógnitas. [[Hermann Grassmann|Grassmann]], [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]] y [[John von Neumann|von Neumann]] están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.
[[Olga Taussky-Todd]] (1906-1995), durante la [[II Guerra Mundial]], usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de [[aeroelasticidad]] llamado ''fluttering''.
== Notas ==
<references/>
== Véase también ==
*[[Determinante (matemática)]]
*[[Matlab]]
{{destacado|pl}}
{{destacado|ur}}
{{bueno|en}}
[[Categoría:Matrices]]
[[Categoría:Álgebra lineal numérica]]
[[ar:مصفوفة]]
[[az:Matris]]
[[bg:Матрица (математика)]]
[[bn:মেট্রিক্স]]
[[bs:Matrica (matematika)]]
[[ca:Matriu (matemàtiques)]]
[[cs:Matice]]
[[da:Matrix]]
[[de:Matrix (Mathematik)]]
[[el:Πίνακας (μαθηματικά)]]
[[en:Matrix (mathematics)]]
[[eo:Matrico]]
[[et:Maatriks]]
[[fa:ماتریس (ریاضی)]]
[[fi:Matriisi]]
[[fr:Matrice (mathématiques)]]
[[gl:Matriz (matemáticas)]]
[[he:מטריצה]]
[[hi:व्यूह]]
[[hr:Matrica (matematika)]]
[[hu:Mátrix (matematika)]]
[[id:Matriks (matematika)]]
[[is:Fylki (stærðfræði)]]
[[it:Matrice]]
[[ja:行列]]
[[ko:행렬]]
[[lo:ມາຕຣິກ]]
[[lt:Matrica (matematika)]]
[[mk:Матрица]]
[[ml:മാട്രിക്സ്]]
[[ms:Matriks (matematik)]]
[[nl:Matrix (wiskunde)]]
[[nn:Matrise]]
[[no:Matrise]]
[[pl:Macierz]]
[[pt:Matriz (matemática)]]
[[ro:Matrice (matematică)]]
[[ru:Матрица (математика)]]
[[scn:Matrici (matimàtica)]]
[[simple:Matrix (mathematics)]]
[[sk:Matica (matematika)]]
[[sl:Matrika]]
[[sq:Matrica]]
[[sr:Матрица (математика)]]
[[sv:Matris]]
[[ta:அணி]]
[[th:เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)]]
[[tr:Dizey]]
[[uk:Матриця (математика)]]
[[ur:میٹرکس]]
[[vi:Ma trận (toán học)]]
[[zh:矩阵]]
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