Diferencia entre revisiones de «Infinito»
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Línea 75:
Ya hemos visto que una unión cualquiera de ordinales es un ordinal. Si tomemos una unión finita de ordinales finitos, fabricamos un ordinal finito. Para obtener el primer ordinal infinito tenemos que reunir un número no finito de ordinales finitos. Haciéndolo, siempre caemos en el mismo conjunto, construido al reunir todos los ordinales finitos, es decir los naturales. El conjunto de todos los naturales, '''N''', es pues el primer ordinal infinito, lo que no debería sorprender, y lo notamos en este contexto ω (omega).
Para visualizar los ordinales, resulta muy práctico representar cada uno por un punto de una sucesión creciente convergente, como por ejemplo u<sub>n</sub> = 1 - 1/(n+1). Esto da algo semejante a:
: X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX........
Escojamos un punto de la sucesión, y miremos cuantos puntos están más a la izquierda. En el ejemplo, hay cuatro, y por lo tanto se trata de u<sub>4</sub>, lo que corresponde al ordinal 4.
Para representar el ordinal w, resulta natural añadir a la sucesión previa un punto 'O' situado exactamente en
: X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O
A la izquierda de u<sub>w</sub> hay una infinidad de puntos, por lo tanto w es infinito. Pero si elegimos a cualquier otro punto de la sucesión a su izquierda, ya no es el caso, lo cual prueba que w es el primer ordinal infinito.
Después de w llega w+1, w+2 ... que se representan añadiendo a la derecha uno dos o más puntos, inicialmente distantes, y luego más cercanos entre sí:
:X________X________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O_______X_____X
Línea 89 ⟶ 94:
:Y__________X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...
Salta a la vista que w y 1+w son muy parecidos. De hecho la función x →x - 1 realiza un isomorfismo entre ellos (1+w tiene dos elementos llamados 0: 0<sub>A</sub> y 0<sub>B</sub>. El primero hace el papel de -1 en la función). Por lo tanto corresponden al mismo ordinal: 1+w = w. Mas no es el caso de w+1,
El punto w (el O del dibujo) no tiene antecesor, es decir que no existe un n tal que n+1=w: se dice que w es un ordinal límite. Cero tiene también esta propiedad pero no merece esta apelación.
Como w+1 ≠ 1+w, la adición no es conmutativa en los ordinales.
Se construye del mismo modo w + w que se nota lógicamente 2w. La multiplicación se define a partir de la adición como para los naturales.
Una vez que se ha representado nw, con n natural, no resulta demasiado difícil imaginar lo que
será w.w, escrito w<sup>2</sup>. Luego se puede definir w<sup>n</sup>, con n natural, y,
tomando el límite, w<sup>w</sup>, que ya cuesta mucho esfuerzo imaginar( tiene tantos elementos que la línea real). Sin hablar de w<sup>w<sup>w</sup></sup>,
w<sup>w<sup>w<sup>w</sup></sup></sup> ... sucesión que tiene como límite epsilon 0, ordinal que no está al alcance de la mente humana.
=== Números cardinales infinitos ===
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