Diferencia entre revisiones de «Superficie (topología)»
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== Definiciones formales ==
Una '''superficie''' es una [[variedad (matemática)|variedad]] bidimensional, es decir, un objeto [[topología|topológico]] que localmente "se parece" al [[plano euclídeo]] <math>\mathbb{R}^2</math> (tecnicamente localmente [[homeomorfismo|homeomorfo]] al plano). Eso significa que si tomamos una porción muy pequeña de la superficie es parecida a al plano euclídeo, al igual que en medio de una llanura la superficie local de la tierra nos parece plana.
Más formalmente el homeomorfismo local entre una superficie y el plano euclídeo implica que para cada punto de una superficie hay una vecindad de ''P'' (una pequeña región que la rodea) que es homeomorfa a un disco abierto de <math>\mathbb{R}^2</math>. Esta propiedad de ser homeomorfa con el plano permite construir un sistema de coordenadas local bidimensional en torno a cualquier punto en la superficie. Se puede llamar al homeomorfismo local que va de la superficie a <math>\mathbb{R}^2</math> como ''carta'' y al inverso (de este homeomorfismo) ''[[geometría diferencial de superficies|parametrización]]''. No siempre es posible parametrizar una superficie con un único [[homeomorfismo local]].
Una '''superficie (topológica) con frontera''' es un [[espacio topológico]] de tipo [[espacio de Hausdorff|Hausdorff]] en que cada punto tiene una [[vecindad (topología)|vecindad]] [[conjunto abierto|abierta]] ''V'' para la que existe un homeomorfismo φ con un conjunto abierto del semiplano superior del plano euclídeo <math>\mathbf{E}^2</math>. El par ordenado (''V'', φ) se llama '''carta (local) de coordenadas''' del punto [esta carta no es única porque para cada punto existen de hecho muchas posibles elecciones de coordenadas].
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The set of points that have an open neighbourhood homeomorphic to '''E'''² is called the ''interior'' of the surface; it is always non-[[empty set|empty]]. The [[complement (set theory)| complement]] of the interior is called the ''boundary''; it is a one-manifold, or union of closed curves. The simplest example of a surface with boundary is the closed [[disk (mathematics)| disk]] in '''E'''²; its boundary is a circle.
A surface with an empty boundary is called ''boundaryless''. (Sometimes the word surface, used alone, refers only to boundaryless surfaces.) A ''closed'' surface is one that is boundaryless and [[compact space|compact]]. The two-dimensional sphere, the two-dimensional [[torus]], and the [[real projective plane]] are examples of closed surfaces.
The [[Möbius strip]] is a surface with only one "side". In general, a surface is said to be ''orientable'' if it does not contain a homeomorphic copy of the Möbius strip; intuitively, it has two distinct "sides". For example, the sphere and torus are orientable, while the real projective plane is not (because deleting a point or disk from the real projective plane produces the Möbius strip).
More generally, it is common in [[differential geometry| differential]] and [[algebraic geometry]] to study surfaces with [[Singular point of an algebraic variety|singularities]], such as self-intersections, cusps, etc.
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== Propiedades y tipos de superficies ==
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