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Diferencia entre revisiones de «Seno (trigonometría)»

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Línea 2:
 
En [[trigonometría]] el '''seno''' de un [[ángulo]] de un [[triángulo rectángulo]] se define como la razón entre el [[cateto]] opuesto y la [[hipotenusa]]:
: <math> \text{sen }sin(\alpha)=\frac{a}{c} </math>
 
O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):
: <math> \text{sen }sin(\alpha)=a \,</math>
 
En [[matemáticas]] el '''seno''' es la [[Función matemática|función]] obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.
Línea 31:
== Con números complejos ==
También se puede definir de la forma:
: <math> {\text{senrm sin}}(z)=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} </math>
Donde donde '''''e''''' es la base del logaritmo natural, e '''''i''''' es la unidad de los números imaginarios.
 
Línea 37:
El seno como [[Serie de Taylor]] es:
 
:<math>\text{sensin }x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \; x^{2n+1} </math>
 
:<math>\text{sensin }x=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \; x^{2n+1} </math>
 
== Representación gráfica ==
Línea 51:
=== Seno de la suma de dos ángulos ===
Esta identidad trigonometrica se define a partir del [[Coseno|coseno de la diferencia de dos ángulos]]
: <math>\forall\ \alphatheta,\betaphi \in \mathbb{R}</math>
* Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir
: <math>\text{sen}sin\left(\alphaphi+\betatheta\right)=\cos\left[\frac{\pi}{2}-(\alphaphi + \betatheta)\right]</math>
* Distribuyo el menos y asocio de una manera distinta
: <math>\text{sen}sin\left(\alphaphi+\beta theta\right)=\cos\left[(\frac{\pi}{2}-\alphaphi)-\beta theta)\right]</math>
* Aplico la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces
: <math>\text{sen}sin\left(\alphaphi+\beta theta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\rightphi)\cos\beta theta+\text{sen}\leftsin(\frac{\pi}{2}-\alpha\rightphi)\text{sen }sin\beta theta</math>
* Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométrica del ángulo completario, queda
: <math>\text{sen}sin\left(\alphaphi+\beta theta\right)=\text{sen }sin\alphaphi\cos\beta theta+\cos\alphaphi\text{ sen }sin\beta theta</math>
 
=== Seno de la diferencia de dos ángulos ===
:<math>\text{sen}sin\left(\alphaphi+(-\betatheta\right))=\text{sen }sin\alphaphi\cos(-\betatheta)+\cos\alphaphi\text{ sen}sin(-\betatheta)</math>
* obtenemos la resta. Como el coseno es [[función par|par]], el signo no importa y como el seno es [[función impar|impar]], el signo sale.
: <math>\text{sen}sin\left(\alphaphi-\betatheta\right)=\text{sen }sin\alphaphi\cos\betatheta-\cos\alphaphi\text{ sen }sin\betatheta</math>
 
=== Forma resumida ===
: <math>\text{sen}sin\left(\alphaphi\pm\betatheta\right)=\text{sen }sin\alphaphi\cos\betatheta\pm\cos\alphaphi\text{ sen }sin\betatheta</math>
 
== Seno de un ángulo doble ==
Tenemos que
:
<math>\text{sen}sin\left(\alphaphi+\betatheta\right)=\text{sen }sin\alphaphi\cos\betatheta+\cos\alphaphi\text{ sen }sin\betatheta</math>
:
Hagamos <math>\alphaphi=\betatheta\,</math> entonces
:
<math>\text{sen}sin\left(2\alphaphi\right)=2\text{ sen }sin\alphaphi\cos\alphaphi</math>
:
 
Línea 82:
* Según la definición de derivada:
: <math>f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>
* lo que es
* Para el seno queda:
: <math>\text{sen}sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\text{sen}sin(x + h)-\text{sensin }x}{h}</math>
* Entonces, usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, se tiene que
: <math>\text{sen}sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\text{sensin }x\cdot\cos h+\cos x\cdot\text{sensin }h-\text{sensin }x}{h}</math>
* Factorizando
: <math>\text{sen}sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\text{sensin }x\cdot(\cos h-1)+\cos x\cdot\text{sensin }h}{h}</math>
* Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene
: <math>\text{sen}sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\text{sensin }x\cdot(\cos (h)-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\text{sensin }h}{h}</math>
* Como:
* Se sustituyen los límites conocidos:
: <math>\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=0,</math> esto es así ya que
: <math>\cos\phi-\cos\theta=-2\sin\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)</math>
* y
:reemplazando para <math>\lim_{theta=h\rightarrow0}\frac{\text{sen</math> }h}{h}y <math>\phi=10</math>
: Se obtienetiene entoncesque:
: <math>-2\textsin\Bigg(\frac{senh}{2}'x=\cos xBigg)\sin\Bigg(\frac{h}{2}\,Bigg)</math>
:y utilizando el límite conocido: <math>\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1</math>
: Se obtiene que el primer término es 0, entonces
* <math>\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}</math>
* Como:
: <math>\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1</math>
* Por ello puede simplificarse, y se tiene que
: <math>\sin'x=\cos x\,</math>
 
== Notas ==
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometría)»