Diferencia entre revisiones de «Teorema de Rolle»
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Línea 21:
La prueba es muy parecida si es el mínimo que está alcanzado en (a, b).
== Teorema de Valor Medio, de Lagrange ó de Incrementos Finitos ==
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
'''Si''':
* f es una [[función continua]] definida en un intervalo [a, b]
* f es [[función derivada|derivable]] sobre el intervalo (a, b)
'''Entonces''': existe un número ''c'' en el intervalo (a, b) tal que :
::::::[[imagen:Teorema_de_Rolle_generalización.png]]
</blockquote>
Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la ''cuerda'' AB.
Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.<br />
Sea ''p'' la pendiente de la cuerda: ''p'' = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior.<br />
Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p. <br /><br />
Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis:''' f(b) = f(a) + f '(c)(b-a)''' lo que deja entrever el teorema de Taylor-Young: <br />
'''f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)<sup>n</sup>/n! · f<sup>(n)</sup>(c)''', con f ''n'' veces derivable sobre (a, b). <br />
[[categoría:Teoremas de cálculo|Rolle]]
[[ar:مبرهنة رول]]
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