Diferencia entre revisiones de «Factorización»
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En ''[[álgebra]]'', la '''factorización''' es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños ('''factores'''), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en [[números primos]] 3 × 5; y a²-b² se factoriza como [[binomio conjugado]]s (a - b)(a + b).
La [[Factorización de enteros|factorización de enteros]] en números primos se describe en el [[teorema fundamental de la aritmética]] y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el [[teorema fundamental del álgebra]].
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[[Imagen:Diferencia_de_cuadrados_2_n.png]]
La demostración pasada es válida para los 10 casos de factorización.
=Factorizar un monomio=
Para factorizar un [[monomio]] solo debes de llevar los números y/o letras a sus factores, o sea, que si los multiplicas entre sí, su resultado será el [[monomio]] inicial.
[[Imagen:ToFact_monomio.png]]CON NÚMEROS PRIMOS
¿Por qué del "15" sacamos 3.5 (o 3x5 que es lo mismo)? Porque si lo multiplicamos, su resultado es 15. Pero, ¿Cómo buscamos estos números? fácil, lo más común es utilizar el método de la tablita o parrilla, este método es muy sencillo, y normalmente se enseña en escuelas básicas. Consiste en hacer una cruz y colocar el número que se desea descomponer a la izquierda y a la derecha ir colocando sus divisores más pequeños.
otra versión es:
Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes.
Por ejemplo :
Factorizar los siguientes números
15 = 3 x 5
27 = 3 x 9
99 = 9 x 11
6 = 3 x 2 y así
En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones.
Como por ejemplo :
Diferencia de Cuadrados:
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa es la manera de factorizarlas.
Veamos algunos ejemplos.
4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)
25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)
(c² - 9Y²) = (c + 3y) (c - 3y)
De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:
9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)
121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9)
64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4)
Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos.
Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento.
Y también se aplica a números fraccionarios.
(Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2).
Por ejemplo:
5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2)
9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5)
11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8)
125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94)
(a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² =
{( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)} Respuesta
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Por adición o sustracción.
Veamos un ejemplo
Factorizar a^4+ a² +1.
Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer término de lo que quedaría
(a² +1 )² pero si desarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a².
Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión .
Entonces : a4+ a² +1 = (a ² +1 )² - a² = (a ² +1+ a) - (a²+1 - a) Respuesta
De manera semejante se resuelven estos ejercicios
Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 =
Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer término
( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4 + 81 n8 Faltan -25m2n4
( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta
Factorizar a4- 16 a² b²+36 b4 =
( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y²
( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta
Factorizar x4+ 2x² y²+y4
Realizando operaciones
''( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y²
( x² - y²)² - 4x²y² = (x² - y² +2xy ) (x² - y² +2xy )
-->
== Factorizar un polinomio ==
Antes que nada, hay que decir que no todo [[polinomio]] se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los [[Número complejo|números complejos]] sí se puede.
Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
*''Binomios''
# Diferencia de cuadrados
# Suma o diferencia de cubos
# Suma o diferencia de potencias impares iguales
*''Trinomios''
# Trinomio cuadrado perfecto
# Trinomio de la forma x²+bx+c
# Trinomio de la forma ax²+bx+c
*''Polinomios''
# Factor común
=== Caso I - Factor común ===
Sacar el factor común es extraer la literal común de un [[polinomio]], [[binomio]] o [[trinomio]], con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
==== Factor común monomio ====
Factor común por agrupacion de términos
:<math>ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,</math>
:<math>ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,</math>
==== Factor común polinomio ====
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
:<math> 5x2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,</math>
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio ''(x-y)'', entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
:<math> (5x2 + 3x +7) \,</math>
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