Diferencia entre revisiones de «Vector»
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En [[matemáticas]], un '''vector''' es un elemento de una estructura algebraica llamada [[espacio vectorial]], que es representada gráficamente con una flecha y esencialmente es un [[conjunto]] de elementos con un conjunto de [[axioma]]s que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales.
Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado.
Así, se llama '''vector''' de dimension ''n'' a una [[tupla]] de ''n'' [[número real|números reales]] (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de [[dimensión]] ''n'' se representa como <math>\mathbb{R}^n</math> (formado mediante el [[producto cartesiano]]).
<math>v \in \mathbb{R}^n</math>
<math>v = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)</math>
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la [[geometría]] como [[vector geométrico]] (usando frecuentemente el espacio tridimensional <math>\mathbb{R}^3</math> ó bidimensional <math>\mathbb{R}^2</math>).
Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:
*dirección: la de la recta que lo contiene
*sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de flecha
*módulo: la longitud del segmento
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB, que indican su origen y extremo respectivamente.
<math>(AB) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \,</math>
== Suma de vectores ==
La '''suma''' ó '''adición''' de vectores es una [[operación interna]].
<math>+: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>
Dados dos vectores, <math>a, b \in \mathbb{R}^n</math>. <math>a = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)</math> y <math>b = (b_1, b_2, b_3, \dots, b_n)</math>. Se define la '''suma''' como:
<math>a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)</math>
== Producto escalar de vectores ==
El '''[[producto escalar]]''' de vectores es una [[operación externa]].
<math>+: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>
Dados dos vectores, <math>a, b \in \mathbb{R}^n</math>. <math>a = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)</math> y <math>b = (b_1, b_2, b_3, \dots, b_n)</math>.
Se representa mediante un punto y se define como:
:<math>\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta</math>
También lo podemos expresar a partir de sus coordenadas como:
:<math>\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3</math>
== Producto de un escalar por un vector ==
El '''producto de un escalar por un vector''' es una [[operación externa]].
<math>\cdot: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>
El '''producto''' de un número escalar cualquiera <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> por un vector <math>a \in \mathbb{R}^n; a = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)</math> se define como:
<math>\lambda \cdot a = \lambda \cdot (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3, \dots, \lambda a_n)</math>
== Propiedades fundamentales ==
<math>\forall a, b, c \in \mathbb{R}^n \and \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R} </math>
* Propiedad '''Asociativa''': (a + b) + c = a + (b + c)
* Propiedad '''Conmutativa''': a + b = b + a
* '''Elemento opuesto''': a + (-a) = 0
* '''Elemento neutro''': a + 0 = a
* λ(u + v) = λu + λv
* (λ + μ)a = aλ + aμ
'''Véase también:''' [[Espacio vectorial]].
== Notación de un vector ==
Los vectores se representan mediante dos letras mayúsculas que desmontan el origen y el extremo de un vector, los cuales también superpuesta una flecha, también se puede señalar con una letra minúscula acompañada de una flecha en la parte superior.
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