Diferencia entre revisiones de «Geometría hiperbólica»
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Línea 21:
El axioma de Bolyai, equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice que «''dada una recta ''r'' y un punto ''P'' externo a ella, hay una y sólo una recta que pasa por ''P'' que no intersecta a 'r''''». Comúnmente, la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de "paralela" a través de P.
En geometría hiperbólica, este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r. De hecho para la geometría hiperbólica es posible demostrar una interesante propiedad: hay dos clases de rectas que no intersectan a la recta r. Sea B un punto que pertenece r tal que la recta
En forma similar, la recta m que forma el mismo ángulo theta entre PB y sí misma, pero ahora en sentido de las manecillas del reloj desde PB, también será hiperparalela, pero no pueden haber otras. Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r, forman ángulos más grandes que theta con PB y son llamadas '''rectas ultraparalelas''' (o '''rectas disjuntamente paralelas'''). Note que, al haber un número infinito de ángulos posibles entre θ y 90º, cada uno de éstos determinará dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r, tendremos entonces, un número infinito de rectas ultraparalelas. Por consiguiente, tenemos esta forma modificada del Postulado de las Rectas Paralelas: «''En geometría hiperbólica, dada una recta ''r'' y un punto ''P'' exterior a ''r'' hay exactamente dos rectas que pasan por ''P'', las cuales son hiperparalelas a ''r'', e infinitas rectas que pasan por ''P'' y son ultraparalelas a ''r'''».
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