Diferencia entre revisiones de «Serie de Fourier»
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Línea 8:
Las series de Fourier tienen la forma:
{{ecuación|
<math>f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n
||left}}
Donde <math>a_n \,\!</math> y <math>b_n \,\!</math> se denominan '''coeficientes de Fourier''' de la serie de Fourier de la función <math>f(x) \,\!</math>
Línea 15:
Si <math>f\,</math> es una función (o señal) periódica y su período es <math>{2T}</math>, la serie de Fourier asociada a <math>f\,</math> es:
{{ecuación|
<math>f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{n\pi}{T}t + b_n
||left}}
Donde <math>a_n\,</math> y <math>b_n\,</math> son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
:<math> a_n = \frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(t) \cos \left( \frac{n \pi}{T} t \right) dt, \qquad b_n=\frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(t)
Por la [[identidad de Euler]], las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:
Línea 34:
<math>a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \cos \frac{n \pi x} {p} dx,</math></br>
y</br>
<math>b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x)
||left}}
entonces la serie converge a</br>
Línea 69:
:<math>\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x
Si la serie de Fourier converge hacia: ''ƒ''(''x'') de cada punto ''x'' donde ''ƒ'' es diferenciable''':'''
Línea 75:
|<math>
\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
\end{align}
</math>
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