Diferencia entre revisiones de «Álgebra de Boole»
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== Definición ==
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:
=== Como retículo ===
El álgebra de Boole es un [[Retículo (orden)|retículo]] (A, <math> \cdot </math> , +), donde el conjunto A esta formado por dos elementos A={0, 1}, como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de [[Idempotencia]]:
: <math> a \cdot a = a \, </math>
: <math> a + a = a \, </math>
2. Ley de [[Asociatividad]]:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\, </math>
: <math> a + (b + c) = (a + b ) + c \, </math>
3. Ley de [[Conmutatividad]]:
: <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
: <math> a + b = b + a \, </math>
4. Ley de [[Cancelativo]]
: <math> (a \cdot b) + a = a \, </math>
: <math> (a + b) \cdot a = a \, </math>
=== Como anillo ===
El Álgebra de Boole tiene [[Estructura algebraica]] de [[Anillo (matemática)|Anillo]]:
==== Grupo abeliano respecto a (+) ====
El conjunto A={0,1} es un [[Grupo abeliano]] respecto a (+):
1. (+) es una operación interna en A:
: <math> (a + b) \in A ; \; \forall a,b \in A \, </math>
2. Es asociativa:
: <math> a + (b + c) = (a + b) + c ; \; \forall a,b,c \in A\, </math>
3. Tiene elemento neutro
: <math> \exists 0 \in A ; \; \forall a \in A: a + 0 = 0 + a = a \, </math>
4. Tiene elemento simétrico:
: <math> \forall a \in A; \; \exists \bar {a} \in A \; / \; a + \bar {a} = \bar {a} + a = 1 \, </math>
5. es conmutativa:
: <math> a + b = b + a ; \; \forall a, b \in A </math>
==== Grupo abeliano respecto a (·) ====
El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (<math> \cdot </math>):
6. (<math> \cdot </math>) es una operación interna en A:
: <math> (a \cdot b) \in A; \; \forall a,b \in A \, </math>
7. Es asociativa:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c ; \; \forall a,b,c \in A\, </math>
8. Tiene elemento neutro
: <math> \exists 1 \in A ; \; \forall a \in A: \; a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \, </math>
9. Tiene elemento simétrico:
: <math> \forall a \in A ; \; \exists \bar {a} \in A \; / \; a \cdot \bar {a} = \bar {a} \cdot a = 0 \, </math>
10. es conmutativa:
: <math> a \cdot b = b \cdot a ; \; \forall a, b \in A </math>
==== Distributivo ====
El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+) y (<math> \cdot </math>) y es distributiva:
11. La operación (+) es distributiva respecto a (<math> \cdot </math>):
: <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \, </math>
: <math> (a + b ) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \, </math>
12. La operación (<math> \cdot </math>) es distributiva respecto a (+):
: <math> a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math>
: <math> (a \cdot b ) + c = (a + c) \cdot (b + c) \, </math>
Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene [[Estructura algebraica]] de [[Anillo (matemática)|anillo]] conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y (<math> \cdot </math>).
== Operaciones ==
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