Diferencia entre revisiones de «Corchete de Poisson»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 201.210.44.166 (disc.) a la última edición de MastiBot |
|||
Línea 1:
En [[matemáticas]] y [[mecánica clásica]], el '''corchete de Poisson''' es un importante operador de la [[mecánica hamiltoniana]], actuando como pieza fundamental en la definición de la evolución temporal de un [[sistema dinámico]] en la formulación hamiltoniana. Desde un punto de vista más general, el corchete de Poisson se usa para definir un [[álgebra de Poisson]], de las que las [[variedades de Poisson]] son un caso especial. Todas éstas están nombradas en honor a [[Siméon-Denis Poisson]].
==Definición==
Sea ''M'' una [[variedad simpléctica]], esto es, una [[variedad]] en la que existe una [[forma simpléctica]]: una [[forma diferencial|forma diferencial de segundo orden]] <math>\omega</math> que es a la vez '''cerrada''' (<math>d\omega = 0</math>) y '''no-degenerada''', en el siguiente sentido: cuando se ve como un mapa <math>\omega: \xi \in \mathrm{vect}[M] \rightarrow i_\xi \omega \in \Lambda^1[M]</math>, <math>\omega</math> es invertible para obtener <math>\tilde{\omega}: \Lambda^1[M] \rightarrow \mathrm{vect}[M]</math>. Aquí <math>d</math> se usa como la [[derivada exterior]], operador intrínseco a la estructura de la variedad ''M'', e <math>i_\xi \theta</math> es la [[derivada interior]] u operación de [[contracción tensorial]], que es equivalente a <math>\theta(\xi)</math> en formas diferenciales de primer orden <math>\theta</math>.
Usando los axiomas del [[cálculo exterior]], uno puede derivar:
{{ecuación|<math>\ i_{[v, w]} \omega = d(i_v i_w \omega) + i_v d(i_w \omega) - i_w d(i_v \omega) - i_w i_v d\omega</math>||left}}
Aquí <math>[v, w]</math> denota el [[Derivada de Lie|corchete de Lie]] en campos vectoriales suaves, que esencialmente define la estructura de la variedad de ''M''.
Si ''v'' es tal que <math>d(i_v \omega) = 0</math>, se le puede llamar <math>\omega</math>-cocerrado (o simplemente '''cocerrado'''). A su vez, si se cumple <math>i_v \omega = df</math> para alguna función ''f'', podemos llamar a ''v'' <math>\omega</math>-coexacta (o simplemente '''coexacta'''). Dado que <math>d\omega = 0</math>, esto implica que el corchete de Lie de dos vectores cocerrados siempre es un campo vectorial coexacto, ya que cuando ''v'' y ''w'' son ambos cocerrados, el único término no nulo en la expresión es <math>d(i_v i_w \omega)</math>. Y como la derivada exterior obedece <math>d \circ d = 0</math>, todos los campos vectoriales coexactos son cocerrados, y por eso el corchete de Lie es cerrado tanto en el espacio de los campos vectoriales cocerrados como en el subespacio de éste consistente en los campos vectoriales coexactos. En el lenguaje del [[álgebra abstracto]], los campos vectoriales cocerrados forman un [[subálgebra]] del [[álgebra de Lie]] de los campos vectoriales suaves en ''M'', y los campos vectoriales coexactos forman un [[álgebra ideal]] de este subálgebra.
Dada la existencia del mapa inverso <math>\tilde{\omega}</math>, todas las funciones reales suaves ''f'' en ''M'' pueden ser asociadas a un campo vectorial coexacto <math>\tilde{\omega}(df)</math>. (Dos funciones están asociadas con el mismo campo vectorial si, y sólo si, su diferencia está en el [[aplicación lineal#Núcleo (kernel) e imagen|núcleo]] de ''d'', esto es, constante en cada componente conectada de ''M''.) Así, definimos el '''corchete de Poisson''' en <math>(M, \omega)</math> como una operación [[bilinear]] en las [[función (matemáticas)|funciones]] [[diferenciable]]s sobre las que las funciones (suaves) de <math>C^\infty</math> forman un [[álgebra]]. Esto está dado por:
{{ecuación|<math>\{f,g\} = i_{\tilde{\omega}(df)} dg = - i_{\tilde{\omega}(dg)} df = -\{g,f\}</math>||left}}
Esta simetría sesgada del corchete de Poisson está asegurada por los axiomas del [[cálculo exterior]] y la condición <math>d\omega = 0</math>. Como el mapa <math>\tilde{\omega}</math> es linear en todo punto y de simetría sesgada, algunos autores lo asocian a un [[P-vector|bivector]], que no es un objeto frecuentemente encontrado en el cálculo exterior. En esta forma se llama el bivector de Poisson o la [[estructura de Poisson]] en la variedad simpléctica, y se denota como <math>\{f,g\} = \tilde{\omega}(df, dg)</math>.
El corchete de Poisson en funciones suaves se corresponde con el corchete de Lie en campos vectoriales coexactos y hereda toda sus propiedades. Por lo que satisface la [[Identidad de Jacobi]]:
{{ecuación|<math>\ \{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0</math>||left}}
El corchete de Poisson <math>\{f,\_\}</math> respecto a un campo escalar ''f'' se corresponde con la [[derivada de Lie]] respecto a <math>\tilde{\omega}(df)</math>. Por lo que es una [[derivada]], y así, satisface la [[Regla de Leibniz]]:
{{ecuación|<math>\ \{f,gh\} = \{f,g\}h + g\{f,h\}</math>||left}}
Una propiedad fundamental de las variedades es que el [[conmutador]] de las operaciones de derivada de Lie sobre dos campos vectoriales es equivalente a la derivada de Lie respecto de algún campo vectorial, que se será su corchete de Lie. El rol paralelo del corchete de Poisson es aparente haciendo una ordenación de la identidad de Jacobi:
{{ecuación|<math>\ \{f,\{g,h\}\} - \{g,\{f,h\}\} = \{\{f,g\},h\}</math>||left}}
Si el corchete de Poisson de ''f'' y ''g'' se anula (<math>\{f,g\}=0</math>), entonces se dice que ''f'' y ''g'' están en ''involución mutua'', y las operaciones de hacer el corchete de Poisson respecto de ''f'' y ''g'' conmutan.
==Coordenadas canónicas==
| |||