Diferencia entre revisiones de «Número áureo»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 190.162.32.71 a la última edición de Diegusjaimes |
|||
Línea 95:
:<math>\Psi = 360^\circ - \frac{360^\circ}{\Phi} \approx 137{,}5^\circ </math>
==== Propiedades algebraicas ====
*Φ es el único [[número real]] positivo tal que:
:<math>\varphi^2 = \varphi + 1\ </math>
La expresión anterior es fácil de comprobar:
:<math>\varphi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}</math>
:<math>\varphi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}</math>
*Φ posee además las siguientes propiedades:
:<math>\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \ </math>
:<math>\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \ </math>
*Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera [[sucesión recurrente]] de potencias.
El caso más simple es: <math>\Phi^n = \Phi^{n-1}+\Phi^{n-2}</math>,
cualquiera sea n un número real. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma
<math>a_1 u_{n+k-1}+a_2 u_{n+k-2}+...+a_k u_n</math>, donde <math>a_i</math> es cualquier [[número real]] o [[número complejo|complejo]] y k es un [[número natural]] menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es <math>k=2</math>, <math>a_1 = 1</math> y <math>a_2 = 1</math>.
Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
<math>\Phi^n = \Phi^{n-2} + 2 \Phi^{n-3} + \Phi^{n-4}</math>. Aquí <math> k = 4</math>, <math>a_1 = 0</math>, <math>a_2 = 1</math>, <math>a_3 = 2</math> y <math>a_4 = 1</math>.
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:
<math>\Phi^n = \Phi^{n-3} + 3 \Phi^{n-4} + 3 \Phi^{n-5} +
\Phi^{n-6}</math>
En general:
<math>\Phi^n = \sum_{i=0}^{\textstyle \frac {1}{2} k}{\textstyle
\frac{1}{2}k\choose i}\Phi^{\left [\textstyle n-\left(\textstyle \frac{1}{2}k+i\right)\right]}\textstyle;k=2j\in \mathbb{N}\,\textstyle, n\in \mathbb{R}\,\textstyle, i\in \mathbb{N}</math>.
En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de <math>\Phi</math>, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de <math>\Phi</math> corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el [[número e]] hay un parentesco.
*El número áureo <math>\frac{\sqrt{5} + 1}{2}</math> es la unidad fundamental «ε» del [[cuerpo]] <math>\mathbb{R}\left(\sqrt{5}\right)</math> y la sección áurea <math>\frac{\sqrt{5} - 1}{2}</math> es su inversa, «<math>\varepsilon^{-1}</math>». En esta extensión el «emblemático» número irracional <math>\sqrt{2}</math> cumple las siguientes igualdades:
<math>\sqrt{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}</math>.
==== Representación mediante fracciones continuas ====
La expresión mediante [[fracción continua|fracciones continuas]] es:
{{ecuación|
<math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi =
1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}</math>
||left}}
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la [[convergencia]] más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un [[número mal aproximable]] mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/BadlyApproximable.html Bad approximable numbers in ''WolframMathWorld'']</ref>
==== Representación mediante ecuaciones algebraicas ====
:<math>(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
El número áureo <math>\frac{\sqrt{5} + 1}{2}</math> y la sección áurea <math>\frac{\sqrt{5} - 1}{2}</math> son soluciones de las siguientes ecuaciones:
<math>\ x^2 - \sqrt{5}\, x + 1 = 0</math>
<math>\ x^3 - y^3 - 4 = 0</math>
<math>\ x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)</math>
==== Representación trigonométrica ====
:<math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math>
:<math>\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ</math>
:<math>\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ </math>
:<math>\varphi = \frac{1}{2} \sec \frac{2}{5} \, \pi = \frac{1}{2} \sec 72^\circ </math>
Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el [[pentagrama (geometría)|pentagrama]].
En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el [[número de la Bestia]]:
:<math>\frac{\varphi}{2}=-\sin666^\circ=-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).</math>
Lo que puede combinarse en la expresión:
:<math>\varphi=-\sin666^\circ-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).</math>
Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los [[grados sexagesimales]] como unidad [[ángulo|angular]], ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.
==== Representación mediante raíces anidadas ====
:<math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}</math>
Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista [[American Mathematical Monthly]], [[1917]].
El teorema general dice:
La expresión <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4 +\sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}}}</math> (donde <math>a_i=a</math>), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación '''x² - x - a = 0'''; o sea, <math>\frac {1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}</math>
==== Relación con la serie de Fibonacci ====
Si se denota el enésimo [[número de Fibonacci]] como F<sub>n</sub>, y al siguiente número de Fibonacci, como F<sub>n + 1</sub>, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: <math>\textstyle \frac{3}{2}</math>= 1,5, <math>\textstyle \frac{8}{5}</math>= 1,6, y <math>\textstyle \frac{21}{13}</math>= 1,61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
:<math>\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n +1}}{F_n} = \phi</math>
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán [[Johannes Kepler]], sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.
A mediados del siglo XIX el matemático francés [[Jacques Philippe Marie Binet]] redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por [[Leonhard Euler]], y por otro matemático francés, [[Abraham de Moivre]]. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
:<math>F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad</math>
=== El número áureo en la geometría ===
El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
*Relaciones entre las partes del pentágono.
*Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
*Relaciones entre las partes del decágono.
*Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.
==== El rectángulo áureo de Euclides ====
[[Archivo:Euclides. Rectángulo áureo .svg|framed|[[Euclides]] obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.]]
El [[rectángulo]] ''AEFD'' es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. [[Euclides]] en su proposición 2.11 de ''[[Los elementos]]'' obtiene su construcción.>
:<math> GC = \sqrt{5}</math>
Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto
:<math>GE=GC=\sqrt{5}</math>
resultando evidente que
:<math> AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}</math>
de donde, finalmente
:<math>\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi</math>
Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.
==== En el pentagrama ====
[[Archivo:Pentagram2.png|thumb|[[Pentagrama (geometría)|Pentagrama]] que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.]]
El número áureo tiene un papel muy importante en los [[pentágonos]] regulares y en los [[pentagrama (geometría)|pentagramas]]. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea.
El pentagrama incluye diez triángulos [[isóceles]]: cinco [[triángulo acutángulo|acutángulos]] y cinco [[Triángulo obtusángulo|obtusángulos]]. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los [[triángulos áureos]].
Teniendo en cuenta la gran [[simetría]] de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una [[recursividad]] hasta el [[infinito]]. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.
==== El teorema de Ptolomeo y el pentágono ====
[[Archivo:Ptolemy Pentagon.svg|left|thumb|Se puede calcular el número áureo usando el [[teorema de Ptolomeo]] en un pentágono regular.]]
[[Claudio Ptolomeo]] desarrolló un teorema conocido como el [[teorema de Ptolomeo]], el cual permite trazar un pentágono regular mediante [[regla]] y [[compás]]. Aplicando este teorema un [[cuadrilátero]] es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden '''b''', y los lados y la base menor miden '''a''', resulta que ''b''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''ab'' lo que implica:
::<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.</math>
==== Relación con los sólidos platónicos ====
El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el [[icosaedro]] y el [[dodecaedro]], cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.
Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse en [[coordenadas cartesianas]] por los siguientes puntos:
(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)
Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también se pueden dar en términos similares:
(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)
[[Archivo:Dodecaedro rectangulos aureos.gif|thumb|120px|Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.]]
Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:
:<math>A = 3\sqrt{15 +20\varphi} \cdot a^2</math>
:<math>V = \frac {4 + 7\varphi}{2} \cdot a^3</math>
Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:
El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.
== El número áureo en la Naturaleza ==
| |||