Diferencia entre revisiones de «1 − 2 + 3 − 4 + ⋯»

En las [[matemáticas]] la expresión, '''1 − 2 + 3 − 4 + · · ·''' es una [[Serie matemática|serie infinita]] cuyos términos son los números [[enteros]] [[Número positivo|positivos]], que van [[serie alternada|alternando sus signos]]. Utilizando notación matemática para [[sumatoria]]s, la suma de los primeros ''m'' términos de la serie se expresa como:

 

Sin embargo, a mediados del [[siglo XVIII]], [[Leonhard Euler]] descubre la siguiente relación calificándola de paradójica:

:<math>1-2+3-4+\cdots=\frac14</math>

 

La serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se encuentra relacionada con la [[serie de Grandi]] 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler analizó estas dos series como casos especiales de (1 − 2^''n'' + 3^''n'' − 4^''n'' + · · ·) para valores de ''n'' arbitrarios, una línea de investigación que extiende su contribución al [[problema de Basilea]] y conduce a las [[Ecuación funcional|ecuaciones funcionales]] de lo que conocemos hoy como la [[función eta de Dirichlet]] y la [[función zeta de Riemann]].

 

Los términos de la sucesion, (1, −2, 3, −4, …), no se aproximan al [[cero|0]]; por lo tanto la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · diverge según el [[Test de divergencia|test del término]]. Como base de los análisis en secciones subsiguientes, es útil analizar la divergencia en un nivel más fundamental. Por definición, la convergencia o divergencia de una serie infinita se determina analizando la [[límite de una sucesión|convergencia o divergencia]] de la sucesión de sus sumas parciales, y en este caso las sumas parciales de 1 − 2 + 3 − 4 + · · · son:<ref>Hardy p.8</ref>

:1 = '''1''',

Esta sucesión se destaca por contener una vez a cada uno de los números [[enteros]] —aún al cero si se cuenta a la suma parcial vacía— y por lo tanto establece la [[Conjunto numerable|numerabilidad]] del conjunto <math>\mathbb{Z}</math> de los enteros.<ref>Beals p.23</ref> Claramente no se aproxima ni converge a ningún número en particular, por lo tanto 1 − 2 + 3 − 4 + · · · diverge.

 

Las explicaciones más simples que relacionan a 1 − 2 + 3 − 4 + · · · con el valor ¹⁄₄ son extensiones de resultados relacionados con la serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.

 

 

Dado que los términos (1, −2, 3, −4, 5, −6…) siguen un patrón simple, se puede expresar a la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · como una versión transformada de sí misma y resolver la [[ecuación]] resultante para obtener un valor numérico. Suponiendo que fuera correcto expresar ''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · para algún número ''s'', las siguientes relaciones conducen a mostrar que ''s'' = ¹⁄₄:

A pesar que el enfoque explicado en el párrafo previo limita los valores que pueden tomar las sumas generalizadas de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, el mismo no indica cuales son los métodos que permitirán sumar o no la serie. En efecto, algunos métodos de sumación lineales y estables, tales como la suma ordinaria, no suman a la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Si en cambio, se expresa la serie en una forma alternativa como un producto, entonces es posible determinar cuales son los métodos que permiten obtener ¹⁄₄.

 

Ya en [[1891]], [[Ernesto Cesàro]] pensaba que las series divergentes serían incorporadas en el futuro al cálculo matemático de una manera rigurosa, indicando que, "Hoy ya es posible escribir las expresiones (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)² = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · y afirmar que ambos lados de la igualdad poseen el valor 1/4."<ref>Ferraro p.130</ref> Para Cesàro, esta ecuación era el resultado de aplicar un teorema que él había publicado durante el año previo, siendo dicho teorema el primero en la historia de las series divergentes sumables. Los detalles de su método de sumación se explican [[#Cesàro/Hölder y Abel|en secciones subsiguientes]]; la idea central es que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es el producto de Cauchy de 1 − 1 + 1 − 1 + · · · con 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.

 

El teorema de Cesàro es un ejemplo sutil. La serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · es ''sumable Cesàro'' en un sentido débil, identificado como sumable (C, 1), mientras que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · requiere el uso de una forma más poderosa del teorema de Cesàro >,<ref>Hardy p.3, Weidlich pp.52-55</ref> siendo ''sumable (C, 2)''. Dado que todas las formas del teorema de Cesàro son lineales y estables, las sumas resultan en los valores indicados previamente.

 

[[Archivo:Pm1234 means.svg|thumb|Expresión de la suma (H, 2) de 1/4]]

 

La otra generalización conocida de la sumación de Cesàro es la sucesión de los métodos (C, ''n''). Se ha demostrado que la sumación (C, ''n'') y la sumación (H, ''n'') siempre dan los mismos resultados, aunque tienen distintas historias. En 1887, Cesàro estuvo muy cerca de desarrollar la definición de la sumación (C, ''n''), pero sólo dio unos pocos ejemplos, incluyendo 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, la que sumó obteniendo el valor ¹⁄₄ por un método que podría ser interpretado como (C, ''n'') pero que no fue justificado como tal en ese momento. Recién en 1890 Cesàro definió formalmente a los métodos (C, n) en la demostración de su teorema, el cual dice que el producto de Cauchy de una serie sumable (C, ''n'') y una serie sumable (C, ''m'') es una serie sumable (C, ''m'' + ''n'' + 1).<ref>Ferraro pp.123-128</ref>

 

[[Archivo:Pm1234 Abel.svg|thumb|left|120px|Algunos parciales de 1−2''x''+3''x''²+···; 1/(1 + ''x'')²; y límites en 1.]]

[[Leonhard Euler]] en un trabajo que escribe hacia [[1749]] admite que la serie diverge, pero de todas formas hace los aprontes para sumarla:

Desde un punto de vista moderno, la serie 1 − 2''x'' + 3''x''² − 4''x''³ + · · · no define una función en ''x'' = 1, por lo tanto dicho valor no puede ser sustituido en la expresión resultante. Dado que la función está definida para todo &#124;''x''&#124; < 1, por lo tanto es posible calcular el límite cuando ''x'' tiende a 1, y esta es precisamente la definición de la suma de Abel:

 

 

[[Archivo:Pm1234 Euler.svg|thumb|Sumación de Euler a ¹⁄₂ − ¹⁄₄]]

Euler también le aplicó a las series otra técnica de su invención: la [[transformada de Euler]]. Para calcular la transformada de Euler, se comienza por la sucesión de términos positivos que forman la serie alternada — en este caso 1, 2, 3, 4, …. El primer elemento de esta sucesión se lo denomina ''a''₀.

:<math>\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\,dx = \frac12-\frac14.</math>

 

Saichev y Woyczyński llegan a 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = ¹⁄₄ utilizando solo dos principios físicos: ''relajación infinitesimal'' y ''separación de escalas''. En realidad, estos principios les permiten definir una familia amplia de "métodos de sumación-''φ''", donde todos ellos suman la serie al valor ¹⁄₄:

 

::<math>\lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.</math>

 

Este resultado generaliza la sumación de Abel, la que corresponde al caso ''φ''(''x'') = exp(−''x''). El formalismo general puede ser demostrado apareando los términos de la serie sobre ''m'' y convirtiendo la expresión en una [[integral de Riemann]]. Para este último paso, la [[suma de la serie de Grandi|demostración correspondiente]] para 1 − 1 + 1 − 1 + · · · emplea el [[Teorema del valor medio]], pero aquí se requiere la poderosa forma de Lagrange del [[teorema de Taylor]].

 

[[Archivo:Pm1234 Euler1755 I-V.png|thumb|Euler suma varias series relacionadas con 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. ''Institutiones'' (1755)]]

El producto de Cauchy triple de 1 − 1 + 1 − 1 + · · · es 1 − 3 + 6 − 10 + · · ·, la serie alternada de los [[Número triangular|números triangulares]]; su suma de Abel y de Euler es ¹⁄₈.<ref>Kline p.313</ref> El producto de Cauchy cuarto de 1 − 1 + 1 − 1 + · · · es 1 − 4 + 10 − 20 + · · ·, la serie alternada de los [[números tetraédricos]], cuya suma de Abel es ¹⁄₁₆.

Las series son estudiadas también para valores no enteros de ''n''; dando origen a la [[función eta de Dirichlet]]. Parte de la motivación de Euler para estudiar las series relacionadas con 1 − 2 + 3 − 4 + · · · era la [[ecuación funcional]] de la función eta, que conduce directamente a la ecuación funcional de la [[función zeta de Riemann]]. Euler ya había adquirido fama por encontrar los valores de estas funciones para valores enteros positivos pares (incluyendo el [[problema de Basilea]]), y estaba también intentando encontrar los valores para enteros positivos impares (incluyendo la [[constante de Apéry]]), un problema que no ha sido resuelto hasta el día de hoy. La función eta es más fácil de tratar con los métodos de Euler porque su [[serie de Dirichlet]] es sumable-Abel en todo su dominio; la serie de la función zeta de Dirichlet es mucho más difícil de sumar en la zona donde diverge.<ref>Euler et al pp.20-25</ref> Por ejemplo, la contraparte de 1 − 2 + 3 − 4 + · · · en la función zeta es la serie no-alternada 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, que posee importantes aplicaciones en la física moderna pero requiere de métodos de suma más potentes.

 

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[[da:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]]

[[en:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]]

[[fi:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]]

[[fr:Série alternée des entiers]]