Diferencia entre revisiones de «Caída libre»
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== La caída libre como sistema de referencia ==
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donde:
:<math>a_y, v_y\;</math>, son la aceleración y la velocidad verticales.
:<math>f\;</math>, es la fuerza de
*Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la [[ecuación diferencial]] {{Eqnref|1}} para las velocidades y la altura vienen dada por:
{{Ecuación|<math>\begin{matrix}
v_y(t)= v_0 - gt \\
y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2
donde ''v''<sub>0</sub> es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo ''v''<sub>0</sub> = 0 y ''h''<sub>0</sub> es la altura inicial de caída.
* Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la [[fricción|resistencia fluidodinámica]] que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico ''k<sub>w</sub>'':
{{Ecuación|<math>
-mg - k_wv_y = ma_y \,
</math>|2|left}}
En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial {{Eqnref|2}}:
{{Ecuación|<math>\begin{cases}
v_y = v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1) \\
y = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1)
\end{cases}</math>||left}}
Nótese que en este caso existe una [[velocidad límite]] dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:
{{Ecuación|<math>
v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}
</math>||left}}
* Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse [[flujo laminar|laminar]], sino [[flujo turbulento|turbulento]] y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:
{{Ecuación|<math>ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2</math>|3|left}}
La solución analítica de la ecuación diferencial {{Eqnref|3}} depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento ywr el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube hacina arriba o para uno que cae hacia abajo. La solución de velocidades para ambos gn(t)= \sqnsrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\s) \right) & sfv_y(t) \le 0▼
Donde:
▲ \end{cases}</math>||left}}fgn
:<math>C_d\;</math>, es el [[coeficiente aerodinámico]] de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.
:<math>A_t\;</math>, es el área transversal a la dirección del movimiento.
:<math>\rho\;</math>, es la densidad del fluido.
:<math>\epsilon = sgn(v_y)\;</math>, es el signo de la velocidad.
La [[velocidad límite]] puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación {{Eqnref|3}}:
{{Ecuación|<math>v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}</math>||left}}
▲La solución analítica de la ecuación diferencial {{Eqnref|3}} depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento
{{Ecuación|<math>\begin{cases} v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) > 0\\
v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) \le 0
\end{cases}</math>||left}}
Donde: <math>\alpha = C_d\rho A_t/2m\;</math>.
Si se integran las ecuaciones
Caída libre (<math>v_0=0</math> y <math>y(0)=h_0</math>):
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