Diferencia entre revisiones de «Péndulo»
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Aplicando la Segunda Ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos
{{ecuación|
<math>F_\text{t} = - mg\
||left}}
donde el signo negativo tiene en cuenta que la <math>F_\text{t}</math> tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular
{{ecuación|
<math> a_\text{t} = \ell \ddot\theta\ \,</math>
||left}}
obtenemos finalmente la [[ecuación diferencial]] del movimiento plano del [[péndulo simple]]
{{ecuación|
<math> \ell \ddot\theta\ + g\sin\theta = 0\,</math>
||left}}
=== Período de oscilación ===
[[Archivo:Pend-period-ampl.png|thumb|250px|right|Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).]]
El astrónomo y físico [[italia]]no [[Galileo Galilei]], observó que el [[periodo de oscilación]] es independiente de la [[Amplitud (matemáticas)|amplitud]], al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:
:<math>T \approx 2 \pi \sqrt{\ell\over g}</math>
Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra [[Integral elíptica de primera especie|integrales elípticas de primera especie]]:
:<math>T = 4\sqrt{\ell\over g}K\left(\sin \frac{\varphi_0}{2}\right)
= 4\sqrt{\ell\over g} \int_0^{\frac{\pi}{2}}
\frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2 \frac{\varphi_0}{2}\sin^2 \theta}}
</math>
Donde φ<sub>0</sub> es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en [[serie de Taylor]] obteniéndose una expresión más útil:
:<math>T = 2 \pi \sqrt{\ell\over g}
\left[1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2 \frac{\varphi_0}{2}+
\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sin^4 \frac{\varphi_0}{2}+
\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\sin^6 \frac{\varphi_0}{2}+ \dots \right]</math>
=== Solución de la ecuación de movimiento ===
[[Archivo:Pend-ampl.png|thumb|250px|Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud <math>\phi_0 = 0,999\pi</math> (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud <math>\phi_0 = 0,25\pi</math> (gris).]]
Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de [[función elíptica|funciones elípticas]] de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una [[integral de movimiento]] y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:
{{ecuación|<math>t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_0^{l\phi(t)} \frac{ld\theta}{\sqrt{E-U(\phi)}} =
\sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta -\cos\phi_0}} =
\sqrt{\frac{l}{4g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\sin^2\phi_0-\sin^2\theta}}</math>||left}}
Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:
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