Diferencia entre revisiones de «Teoría de conjuntos»
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{{cita|Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras, plantas, personas, mastodontes,..., practicamente cualquier cosa.|[[Julius Wilhelm Richard Dedekind]]}}
== Notación ==
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: <math>A</math>, <math>B</math>, <math>K</math>,...
Llamaremos ''elemento'', a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: <math>a</math>, <math>b</math>, <math>k</math>,...
De esta manera, si <math>~A</math> es un conjunto, y <math>~a, b, c, d, e</math> todos sus elementos, es común escribir:
:<math> ~A= \{a, b, c, d, e\} </math>
para definir a tal conjunto <math>~A</math>. Esta notación empleada para definir al conjunto <math> ~A </math> se llama ''notación por extensión''
Para representar que un elemento <math>~x</math> pertenece a un conjunto <math>A</math>, escribimos <math>x\in A</math> (léase "<math>x</math> en <math>A</math>", "<math>x</math> pertenece a <math>A</math>" o bien "<math>x</math> es un elemento de <math>A</math>"). La negación de <math>x\in A</math> se escribe <math>x\notin A</math> (léase <math>~x</math> no pertenece a <math>~A</math>).
El [[conjunto universal]], que siempre representaremos con la letra <math>U</math> (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces <math>U</math> es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, <math>U</math> es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama ''[[conjunto vacío]]'' y que se denota por <math>\emptyset</math>. Es decir
:<math>\emptyset = \{\}</math>
La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles que no están contenidos en él, es decir
:<math>\forall x \quad x\notin\emptyset</math>.
Por otro lado, si todos los elementos <math>~x</math> de un conjunto <math>A</math> satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición <math>p\left( x\right)</math>, con la indeterminada <math>~x</math>, usamos la ''notación por comprensión'', y se puede definir:
:<math>~A=\{x\in U:p(x)\}</math>
Lo anterior se lee "<math>A</math> es el conjunto de elementos <math>x</math>, que cumplen la propiedad <math>p(x)</math>". El símbolo "''':'''" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra <math>\mid</math>.
Por ejemplo, el conjunto <math>~A= \{1, 2, 3, 4\}</math> puede definirse por:
: <math>~A= \{n\in\mathbb N: 1\leq n\leq 4\} </math>
donde el símbolo <math>\mathbb{N}</math> representa al conjunto de los [[números naturales]].
El uso de algún conjunto <math> U \,</math> es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en contradicciones como ejemplo:
:<math>M=\{x: x \notin M\}</math>
Es decir, <math> M \,</math> es el conjunto donde cada elemento <math> x \,</math> satisface la propiedad <math> x \notin M </math>. Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto <math> M \,</math> no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que <math> M \,</math> es un conjunto, cabe hacer la pregunta "¿<math> M \subset M </math>?" Si la respuesta es negativa (<math>M \not\subset M</math>) entonces <math> M \,</math> cumple la propiedad <math>x\notin M</math> y por lo tanto <math> M \subset M </math>. Si por el contrario la respuesta es afirmativa (<math>M \subset M</math>), entonces <math> M \,</math> no cumple con la propiedad <math>x\notin M</math> y por esta razón <math> M \not\subset M</math>. Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la ''[[Paradoja de Russell|paradoja del barbero]]'' esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría de Cantor.
== Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos ==
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