Diferencia entre revisiones de «Pequeño teorema de Fermat»
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[[Archivo:Pierre de Fermat.jpg|160px|thumb|right|[[Pierre de Fermat]].]]
El '''pequeño teorema de [[Pierre de Fermat|Fermat]]''' es uno de los [[teorema]]s clásicos de [[teoría de números]] relacionado con la [[divisibilidad]]. Se formula de la siguiente manera:
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{{AP|Demostraciones del pequeño teorema de Fermat}}
[[Fermat]] estableció tal resultado en una carta a [[Bernard Frénicle de Bessy|Frénicle de Bessy]], pero como era habitual en él, omitió la prueba del mismo:<ref name=
{{cita|1=Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1. (...) Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.
|col2=Todo número primo ''mide'' una de las potencias menos uno de cualquier progresión en la que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno. (...) Y esta proposición es generalmente cierta para todas las progresiones y todos los números primos; le enviaría la prueba, si no temiese que es demasiado larga.|2=Pierre de Fermat}}
[[Archivo:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|right|160px|[[Leonhard Euler]] daría la primera [[demostración matemática|demostración]] formal del [[teorema]] en [[1736]].]]
La primera demostración publicada se debe a [[Leonhard Euler]] en [[1736]] en un artículo titulado ''Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio''.<ref> {{cita publicación| autor = Euler, Leonhard| título = Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio| año = 1741
| publicación = Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae| número = 8| id = p. 141-146| url = http://www.cs.utexas.edu/users/wzhao/e054.pdf}}. (traducción paralela del latín al inglés)</ref> Daría otras dos demostraciones más a lo largo de su vida,<ref>{{cita web| url = http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Euler2.asp| título = Historia de las Matemáticas. Biografía de Leonhard Euler| fechaacceso = 3 de mayo| añoacceso = 2008| autor = Santiago Fernández y Antonio Pérez Sanz| año = 2004}}</ref> aunque era la primera de todas ellas la misma que había en un manuscrito personal de [[Gottfried Leibniz]], escrito sobre [[1683]] y que nunca llegó a publicar.<ref>{{cita web
| url = http://primes.utm.edu/notes/proofs/FermatsLittleTheorem.html| título = Proof of Fermat's Little Theorem - The primes page.| fechaacceso = 3 de mayo| añoacceso = 2008| autor = Chris K. Caldwell| año = 1994}}</ref> [[Gauss]] publicaría otra prueba más en su libro ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'' en [[1801]].<ref name=
La prueba original de [[Euler]] (y [[Leibniz]]) es sencilla, en términos de comprensión [[lógica]], ya que sólo utiliza métodos elementales que una persona con nociones básicas de [[álgebra]] puede entender. Su [[demostración matemática|demostración]] se basa en el [[inducción matemática|principio de inducción]], que consiste en demostar que si cierta propiedad ''P'' de los [[número natural|números naturales]] se cumple para ''n'' y también se cumple para ''n''+1, entonces se cumple para todo ''n''.<ref>{{cita web| url = http://mate.dm.uba.ar/~spuddu/inducc.pdf| título = Números naturales, principio de inducción.| fechaacceso = 6 de mayo| añoacceso = 2008| autor = Dep. de Matemática - Universidad de Buenos Aires| año = 2005}}</ref> Es fácil ver que si se cumple para ''n'', y para ''n''+1, también se cumple para ''n''+2, ''n''+3, etc. ya que, llamando como ''n''<sub>1</sub> a ''n''+1, se cumple para ''n''<sub>1</sub> y ''n''<sub>1</sub>+1, por tanto, para ''n'', ''n''+1 y ''n''+2, y así sucesivamente.
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* 5<sup>3</sup> − 5 = 120 es divisible por 3.
* 7<sup>2</sup> − 7 = 42 es divisible por 2.
* 2<sup>5</sup> − 2 = 30 es
* (−3)<sup>7</sup> + 3 = − 2.184 es divisible por 7.
* 2<sup>97</sup> − 2 = 158.456.325.028.528.675.187.087.900.670 es divisible por 97.
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== Generalizaciones ==
Una pequeña generalización del teorema, que se sigue de él, dice lo siguiente: si ''p'' es primo y ''m'' y ''n'' son enteros ''positivos'' con ''m'' ≡ ''n'' (mod ''p''-1), entonces ''a''<sup>m</sup> ≡ ''a''<sup>n</sup> (mod ''p'') para todos los enteros ''a''.<ref name=
El pequeño teorema de Fermat se puede generalizar mediante el [[teorema de Euler]]; para cualquier módulo ''n'' y cualquier entero ''a'' [[coprimo]] con ''n'', se tiene:
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