Diferencia entre revisiones de «Tetraedro»

Contenido eliminado Contenido añadido
AVBOT (discusión · contribs.)
m BOT - Posible vandalismo de 190.121.92.39, revirtiendo hasta la edición 31707253 de Kintaro. ¿Hubo un error?
Revertidos los cambios de 201.230.59.176 a la última edición de 200.121.195.42 usando monobook-suite
Línea 1:
{{fusionar en|tetraedro}}
{{Otros usos | Tetraedro (general) | otros tetraedros no regulares}}
Un '''tetraedro''' es un [[poliedro]] de [[cuatro]] caras. Con este número de caras ha de ser forzosamente un [[poliedro convexo]], y sus caras [[triángulo|triangulares]], encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son [[Triángulo equilátero|triángulos equiláteros]], forzosamente iguales entre sí, el tetraedro se denomina '''[[tetraedro|regular]]'''.
 
==Propiedades geométricas==
{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px"
En todo tetraedro, sea o no regular, se verifica que:
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|'''Tetraedro''' regular
|-
|align=center colspan=2|[[Archivo:120px-Tetrahedron-slowturn.gif]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Grupo
|align=center|[[Sólidos platónicos]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Número de [[Cara (Geometría)|caras]]
|align=center|4
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Polígonos que forman
las caras
|align=center|Triángulos
equiláteros
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Número de [[Arista (Geometría)|aristas]]
|align=center|6
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Número de [[Vértice (Geometría)|vértices]]
|align=center|4
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Caras concurrentes
en cada vértice
|align=center|3
|-
|bgcolor=#e7dcc3|Vértices contenidos
en cada cara
|align=center|3
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Grupo de simetría]]
|align=center|Tetraédrico (''T''<sub>''d''</sub>)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[Poliedro conjugado]]
|align=center|Tetraedro
(autoconjugado)
|}
 
* Los [[segmento]]s que unen los puntos medios de los tres pares de aristas opuestas son concurrentes en un punto, que los divide por su mitad.
Un '''tetraedro regular''' es un [[poliedro]] formado por cuatro caras que son [[triángulo equilátero|triángulos equiláteros]], y cuatro vértices en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es uno de los cinco poliedros ''perfectos'' llamados [[sólidos platónicos]]. Además es uno de los ocho poliedros convexos denominados [[deltaedro]]s. Aplicándole la nomenclatura estándar de los [[sólido de Johnson|sólidos de Johnson]] podría ser denominado [[Pirámide (geometría)|pirámide]] triangular.
 
* Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las [[mediana (geometría)|medianas]] de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo ([[Teorema de Commandinho]]).
Para la escuela [[Pitágoras|pitagórica]] el tetraedro representaba el elemento fuego, puesto que pensaban que las partículas (átomos) del fuego tenían esta forma.
 
* Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la [[esfera circunscrita]] al tetraedro.
== Cálculo de dimensiones fundamentales ==
Exclusivamente a partir de la arista '''a''' se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. Así, para las esferas singulares del tetraedro:
 
* Las rectas perpendiculares a las caras por su [[circuncentro]] son concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
* [[Radio]] '''R''' de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los cuatro vértices del mismo):
:<math> R= \frac{ \sqrt{6} }{4} \cdot a \approx 0,6124 \cdot a</math>
 
* RadioLos '''r'''[[plano bisector|planos bisectores]] de lalos esferadiedros inscritainteriores alde un tetraedro (laconcurren tangenteen aun punto equidistante de las cuatro caras, delcentro de la esfera inscrita al tetraedro):.
:<math> r=\frac{ \sqrt{6} }{12} \cdot a \approx 0,2041 \cdot a</math>
 
* RadioLas '''ρ'''alturas de laun esferatetraedro tangentesólo ason lasconcurrentes seissi las aristas delopuestas tetraedro:son perpendiculares.
:<math> \rho = \frac{ \sqrt{2} }{4} \cdot a \approx 0,3536 \cdot a</math>
 
==Volumen==
En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas (las que no concurren en un mismo vértice) son ortogonales entre sí, siendo la mínima distancia entre ellas el segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio '''ρ''' de la esfera tangente a las aristas del tetraedro.
Existe una fórmula general para el cálculo del volumen de un tetraedro, sea o no regular, en función de las coordenadas cartesianas ''(x, y, z)'' de tres de sus vértices '''A''', '''B''' y '''C''' (supuesto el origen de coordenadas en el cuarto):
:<math>V=\frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \end{vmatrix} </math>
 
Otra fórmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas, <math>\ l_1 </math> y <math>\ l_2</math> y la distancia entre ambas <math>\ h </math>, y es :
* La [[Alto dimensional|altura]] '''H''' del tetraedro (apoyado el tetraedro de manera estable sobre un plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al vértice opuesto):
:<math>H = \frac{\sqrt{6} }{3} \cdot a \approx 0,8165 \cdot a</math>
 
<math>V=\frac{1}{6} \cdot l_1 \cdot l_2 \cdot h </math>
== Volumen, área y desarrollo ==
Dado un Tetraedro regular de arista '''a''', podemos calcular su [[Volumen (física)|volumen]] '''V''' mediante la siguiente fórmula:
:<math>V=\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 \approx 0,1179 \cdot a^3 </math>
 
Esta fórmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un terraplén, de una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir de la longitud de su coronación <math>\ l_1</math>, la longitud en la base <math>\ l_2</math>, y su altura <math>\ h</math>.
Y el [[área]] total de sus caras '''A''' (que es 4 veces el área de una de ellas, '''A<sub>c</sub>'''), mediante:
:<math>A=4 \cdot A_c=4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \sqrt{3} \cdot a^2 \approx 1,732 \cdot a^2 </math>
 
== Ángulos ==
Los [[ángulo plano|ángulos planos]] que forman las aristas concurrentes son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales; y con un valor de 60º (π/3 [[rad]]), al constituir los ángulos interiores de un triángulo equilátero.
 
Los [[ángulo diedro|ángulos diedros]] que forman las caras son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden ser calculados como:
:<math> \delta=2 \cdot \arcsin {\frac{\sqrt{3}}{3}} \approx 1.23 \ rad \ (70^\circ 31' 43.61'')</math>
 
[[Categoría:Poliedros]]
Los [[ángulo sólido|ángulos sólidos]] que forman los vértices son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden ser calculados como:
:<math> \omega = \frac {A_c} {H^2} = \frac {\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2}{\left( \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot a \right)^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}sr \approx 0,650 sr</math>
 
== Propiedades particulares ==
=== Simetría ===
[[Archivo:Tetraeder-Animation.gif|left]]
[[Archivo:Symmetries of the tetrahedron.svg|thumb|270px|]]
Un tetraedro regular tiene cuatro [[eje de simetría|ejes de simetría]] de orden tres, las rectas perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto de tetraedro; y seis [[plano de simetría|planos de simetría]], los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Esto hace que este cuerpo tenga un [[orden de simetría]] total de 24: 2x(4x3).
 
Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría tetraédricos, el denominado '''T<sub>d</sub>''' según la [[notación de Schöenflies]].
 
(El tetraedro tiene también tres ejes de simetría de orden dos: las rectas que pasan por el punto medio de una arista y por el de la arista opuesta.)
 
=== Conjugación ===
El tetraedro regular es el único sólido platónico conjugado de sí mismo (se suele denominar autoconjugado), ya que el [[poliedro conjugado]] de un tetradro de arista '''a''' es otro tetraedro de arista '''b''', tal que:
:<math>b=\frac{a}{4}</math>
 
=== Proyecciones ===
Las [[Proyección ortogonal|proyecciones ortogonales]] de un tetraedro regular sobre un plano pueden ser:
* [[Triángulo]]s;
** En particular, si el plano de proyección es paralelo a una cara, la proyección del tetraedro es un [[triángulo equilátero]], correspondiente a una cara en [[verdadera magnitud]].
* [[Cuadrilátero]]s;
** En particular, si el plano de proyección es paralelo a dos aristas opuestas del tetraedro, la proyección es un [[cuadrado]], con un lado igual a la longitud de la arista del tetraedro dividida por la raíz cuadrada de dos.
 
=== Secciones ===
Las infinitas [[sección|secciones]] que podemos tomar de un tetraedro regular pueden resultar:
* [[Triángulo]]s;
** En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a una de las caras del tetraedro es un [[triángulo equilátero]].
* [[Cuadrilátero]]s;
** En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a dos aristas opuestas es un [[rectángulo]].
** Si, además de ser paralelo a dos aristas opuestas, el plano de corte equidista de ambas, la sección resultante es un [[cuadrado]] de lado mitad de la arista del tetraedro. Como existen tres pares de aristas opuestas, un tetraedro regular se puede seccionar de esta forma por tres planos diferentes.
 
=== Composición, descomposición y maclado ===
Es posible incluir un tetraedro regular en un [[cubo]] de tal forma que cada uno de los vértices del tetraedro coincida con un vértice del cubo, coincidiendo las aristas del tetraedro con diagonales de las caras del cubo. El volumen del cubo necesario para incluir un tetraedro en la forma descrita es el triple que el del tetraedro. Hay dos posiciones posibles para incluir los tetraedros en el cubo en esta forma;
 
* Las aristas de los tetraedros colocados en ambas posiciones son perpendiculares entre sí (son las diagonales cruzadas de las caras del cubo).
 
* Las tres secciones cuadradas de ambos tetraedros coinciden.
* El [[sólido conjunto]] (o macla) de ambas es un [[poliedro compuesto]] denominado [[estrella octángula de Kepler]] (''"stella octangula"'').
 
* El [[sólido común]] de ambos es un [[octaedro]] regular de arista mitad que la de los tetraedros.
 
No es posible [[rellenar el espacio]] únicamente con tetraedros regulares (aunque, parece ser, que [[Aristóteles]] así lo creía), pero sí es posible hacerlo con elementos formados por una combinación de un octaedro regular y dos tetraedros regulares.
 
De las infinitas formas de [[truncar]] un tetraedro regular, hay dos que producen resultados singulares:
 
* Truncando el tetraedro con planos que pasen por el punto medio de sus aristas, obtenemos un [[octaedro]] regular.
 
* Truncando el tetraedro con planos que pasen por la tercera parte de sus aristas, obtenemos un [[Sólidos arquimedianos|sólido arquimediano]] que toma el nombre genérico de [[tetraedro truncado]].
 
Un tetraedro no puede ser [[estelar|estelado]], puesto que todas las intersecciones entre los planos de las caras del tetraedro son aristas del tetraedro.
 
== Los tetraedros en la naturaleza y en la técnica ==
La forma tetraédrica aparece en la naturaleza en ciertas [[moléculas]] de [[enlace covalente]]. La más común de ellas es la molécula de [[metano]] (CH<sub>4</sub>), en la que los cuatro átomos de [[hidrógeno]] se sitúan aproximadamente en los cuatro vértices de un tetraedro regular del que el átomo de [[carbono]] es el centro.
 
Existen también [[Estructura cristalina|estructuras cristalinas]] naturales de forma tetraédrica.
 
A pesar de ser el tetraedro un poliedro de forma simple y totalmente regular no existen muchos objetos de uso común basados en su forma.
 
Como medio de almacenamiento es una forma desastrosa: no es posible rellenar el espacio con ella, que sería la forma de no desperdiciar volumen entre las piezas; tampoco resulta fácilmente apilable al no tener caras paralelas; y, además, es muy ineficaz: para contener un litro de producto son necesarios más de 7,2 dm² de "pared", mientras que utilizando un cubo con 6 dm² es suficiente. A pesar de todos estos inconvenientes, la empresa sueca [[Tetra Pak]] desarrolló un [[envase]] de cartón metalizado en forma tetraédrica en la [[años 1950|década de 1950]], únicamente porque su fabricación resultaba singularmente sencilla: bastaba con enrollar una hoja de papel formando un cilindro, para después aplastar sus dos extremos, pero en direcciones perpendiculares, logrando con ello un tetraedro.
 
En cualquier posición que sea apoyado un tetraedro, uno de sus vértices queda vertical hacia arriba. Por este motivo se basa en su forma la fabricación de ciertos modelos de elementos móviles de [[balizamiento de carreteras]] ya que, al ser indiferente la posición en la que se apoyen, su colocación es rápida y sencilla, y no pueden ser derribados por los vehículos.
 
Es una forma sencilla con gran facilidad para trabarse y engancharse, puesto que sus vértices son muy agudos y dirigidos en las cuatro direcciones. Por este motivo se busca su forma en elementos cuya principal función sea engancharse, como las [[ancla]]s de barco (en esquema, un ancla está formada por las dos aristas opuestas de un tetraedro unidas por su perpendicular), o trabarse entre sí, como las [[escollera]]s de hormigón armado para defensa contra el oleaje. Existen al menos tres modelos de uso frecuente basados en la forma de un tetraedro regular:
 
* Los [[Tetrápodo (escollera)|tetrápodos]], formados por cuatro troncos de cono colocados según las alturas de un tetraedro regular, entre sus vértices y su centro.
 
* Los [[Dolos (escollera)|doloses]] ''(plural de dolos)'', diseñados por el ingeniero [[Eric M. Merrifield]], formados por tres piezas rectas, dos materializando las aristas opuestas de un tetraedro regular y una tercera uniéndolas por su perpendicular.
 
* Los [[akmon]] ''(yunque)'', desarrollados en el Laboratorio de Hidráulica de [[Delf]] (Países Bajos), de forma similar a los doloses, pero más robusta.
 
A principios del siglo XX [[Alexander Graham Bell]], inventor del teléfono, experimentó intensamente con [[cometa]]s, con el fin de desarrollar el vuelo tripulado con vehículos más pesados que el aire, y llegó tras una serie de experimentos a esta forma. Las cometas tetraédricas están compuestas de múltiples celdas con forma de tetraedro, en el que se materializan únicamente dos de sus caras. Llegó a construir cometas enormes, formadas por un gran número de estas celdas. En [[1907]] construyó una de 3.393 celdas que arrastró con un barco de vapor, siendo capaz de elevarla 50 m con un tripulante a bordo. Intentó después otras construcciones aún más grandes, y equipadas con motor... pero no dieron el resultado deseado. A los motores les faltaba potencia y las construcciones resultaban frágiles en exceso, por lo que abandonó el proyecto, dedicándose a otras actividades.
 
La sonda espacial [[Mars Pathfinder]] de la [[NASA]] también tuvo forma de tetraedro, cuyas caras se abrieron como pétalos al amartizar, el [[4 de julio]] de [[1997]], para permitir la salida del robot Sojourner que llevaba en su interior.
 
Otra aplicación práctica del tetraedro es la de dar forma al [[Dados de rol|dado]] de cuatro caras, cuya notación escrita es «d4»<ref>[http://homepage.ntlworld.com/dice-play/Notation.htm Dice-Play, página web especializada en juegos basados en el uso de dados (en inglés)]</ref> y al que se utiliza sobre todo en numerosos [[Juego de rol|juegos de rol]]. Al no mostrar este dado una cara hacia arriba, suele llevar marcado el valor de la tirada en los vértices o en la base.
 
== Referencias ==
 
{{listaref}}
 
== Véase también ==
 
* [[Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas]]
 
[[Categoría:Figuras geométricas]]
[[Categoría:Sólidos platónicos]]
[[Categoría:Deltaedros]]
[[Categoría:Prismatoides]]
[[Categoría:Poliedros autoduales]]
 
[[ar:رباعي سطوح]]
[[az:Tetraedr]]
[[bg:Четиристен]]
[[bn:চতুস্তলক]]
[[ca:Tetràedre]]
[[cs:Čtyřstěn]]
[[da:Tetraeder]]
[[de:Tetraeder]]
[[en:Tetrahedron]]
[[eo:Kvaredro]]
[[eu:Tetraedro]]
[[fa:چهاروجهی]]
[[fi:Tetraedri]]
[[fr:Tétraèdre]]
[[he:ארבעון]]
[[hr:Tetraedar]]
[[is:Ferflötungur]]
[[it:Tetraedro]]
[[ja:三角錐]]
[[km:តេត្រាអែត]]
[[ko:사면체]]
[[lb:Tetraeder]]
[[li:Veervlak]]
[[lt:Tetraedras]]
[[lv:Tetraedrs]]
[[ms:Tetrahedron]]
[[nl:Viervlak]]
[[no:Tetraeder]]
[[pl:Czworościan]]
[[pt:Tetraedro]]
[[ru:Тетраэдр]]
[[simple:Tetrahedron]]
[[sk:Štvorsten]]
[[sl:Tetraeder]]
[[sr:Тетраедар]]
[[sv:Tetraeder]]
[[ta:நான்முக முக்கோணகம்]]
[[th:ทรงสี่หน้า]]
[[uk:Тетраедр]]
[[zh:正四面體]]
[[zh-yue:四面體]]