Diferencia entre revisiones de «Momento de inercia»
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== Ecuaciones del momento de inercia ==
[[Archivo:inertie balai.jpg|thumb|150 px|¿Cuál de estos giros resulta más difícil? <br />El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.]]
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
{{ecuación|
<math>I \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ m r^2\,\!</math>
||left}}
donde '''m''' es la masa del punto, y '''r''' es la distancia al eje de rotación.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia ''r'' de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
{{ecuación|
<math>I = \sum m_ir_i^2 \,</math>
||left}}
Para un cuerpo de masa continua ([[Medios continuos|Medio continuo]]), se generaliza como:
{{ecuación|
<math>I = \int_V r^2 dm = \int_V \rho r^2 \,dV</math>
||left}}
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la [[Leyes de Newton#Segunda Ley de Newton o Ley de la Fuerza|segunda ley de Newton]]: <math>\scriptstyle{a = F/m}</math> tiene como equivalente para la rotación:
:<math>\tau = I \alpha\,</math>
donde:
* <math>\scriptstyle{\tau}</math> es el [[Momento de fuerza|momento]] aplicado al cuerpo.
* <math>\scriptstyle{I}</math> es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
* <math>\textstyle{\alpha={d^2\theta\over dt^2}}</math> es la [[aceleración angular]].
La [[energía cinética]] de un cuerpo en movimiento con velocidad ''v'' es <math>\scriptstyle{{1\over 2}mv^2}</math>, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es <math>\scriptstyle{{1\over 2}I\omega^2}</math>, donde <math>I</math> es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.
La conservación de la [[cantidad de movimiento]] o momento lineal tiene por equivalente la conservación del [[momento angular]] <math>\scriptstyle{\vec L}</math>:
: <math>\vec L = I\vec \omega</math>
El [[vector]] momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector [[velocidad angular]] <math>\scriptstyle{\vec \omega}</math>. Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un [[eje principal]] de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.
=== Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos ===
El teorema de Steiner (denominado en honor de [[Jakob Steiner]]) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:</br>
</br>
:<math> I_{eje} = I_{eje}^{(CM)} + Mh^2 \,</math>
</br>
donde: ''I<sub>eje</sub>'' es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;
''I''<sup>(''CM'')</sup><sub>''eje''</sub> es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; ''M'' - Masa Total y ''h'' - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas ''C'' <math>\bar{\mathbf{r}} = \mathbf{r}_{C} + \mathbf{h} </math> inmediata:</br>
</br>
:<math>I_{eje} = \int_V \bar{\mathbf{r}} \cdot \bar{\mathbf{r}} \quad dm =
\int_V (\mathbf{r}_{C}\cdot\mathbf{r}_{C}+2\mathbf{r}_{C}\cdot\mathbf{h}+
\mathbf{h}\cdot\mathbf{h}) \quad dm =
\int_V \mathbf{r}_{C}\cdot\mathbf{r}_{C} \quad dm + \int_V 2\mathbf{r}_{C}\cdot\mathbf{h} \quad dm + \int_V \mathbf{h}\cdot\mathbf{h} \quad dm </math>
:<math>I_{eje} = I_{eje}^{(CM)} + \underbrace{2\mathbf{h}\cdot\int_V \mathbf{r}_{C} dm}_{=0} + Mh^2
</math>
</br>
donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
=== Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas ===
# Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
# Determinar las áreas de las partes, designarlas por <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math>.
# Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes <math>(x_i,y_i)\,</math> con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm <math>(x_G,y_G)\,</math> de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
# Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
# Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a ''x'' e ''y''). Designar como: <math>I_{i,x}</math> e <math>I_{i,y}</math>, para el área ''i''-ésima.
# Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: <math>\bar{I}_{i,x} = I_{i,x} + A_i(y_i-y_G)^2</math> y <math>\bar{I}_{i,y} = I_{i,y} + A_i(x_i-x_G)^2</math>
# Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: <math>I_{x,tot} = \sum_i \bar{I}_{i,x}</math> e <math>I_{y,tot} = \sum_i \bar{I}_{i,y}</math>
== Tensor de inercia de un sólido rígido ==
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