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Obsérvese que <math>D=\{ (x,y)| y = a \cdot x + b\}</math>
== Demo Demostración==
ItEs isfácil easycomprobar toque seeeste thatmínimo thisse minimumrealiza isen performedel inproyectado theortogonal projected angle ofde A onsobre D, iees pointdecir el punto A 'of thede linela recta (D) suchtal thatque (AA') issea perpendicular toa itella. IndeedEn efecto, ifsi wese taketoma anyotro otherpunto pointcualquiera B de (D), thenentonces inen theel [[righttriángulo trianglerectángulo]] AA'B, thela [[hypotenusehipotenusa]] AB ises longermás thanlarga theque el [[legcateto]] AA '. IsGeométricamente constructedse geometricallyconstruye designedel Aproyectado A'sliding adeslizando bracketuna onescuadra asobre una ruleregla thatque continuessigue thela linerecta D tohasta findencontrar theel pointpunto A,; thenluego measurese themide lengthla longitud AA'.
[[FileArchivo:Distancia Distancepunto point fliesrecta 2.png | left]]
AUn moreobjetivo ambitiousmás objectiveambicioso ises toel findde aencontrar wayuna tomanera calculatede thiscalcular distanceesta distancia, iees withoutdecir passingsin throughpasar apor una measurementmedición chartgráfica, necessarilyforzosamente approximateaproximativa. ItPara isello, thereforees advisableaconsejable toutilizar useun ansistema orthonormalde coordinatecoordenadas systemortonormal - <math> (O, \ vec i, \ vec j) )</ math> inen Figla figura. TheLa linerecta andy theel pointpunto whosecuya distancedistancia isse beingquiere measuredmedir areson defineddefinidos bypor theirsu Cartesianecuación coordinatescartesiana equationy respectivelysus coordenadas respectivamente: <math> D: a \ cdot x + b \ cdot y + c = 0 </ math>; andy <math> M = \ begin ({pmatrix)} x \ \ andy \ end ({pmatrix) }</ math> <br />
IfSi theen Dla lineecuación de la recta D equationvariamos wesólo varyel onlyvalor thedel parameterparámetro "c" weobtendremos getuna afamilia familyde ofrectas parallel linesparalelas. SoDe tomanera determineque apara perpendiculardeterminar un vector canperpendicular podemos tomar take'' 'c = 0'''. ThusAsí, thelos vectorsvectores onsobre thela linerecta willtendrán formla forma <math> \ begin{pmatrix} (pmatrix)-by / toa \ \ andy \ end ({pmatrix) }= y \ begin{pmatrix} (pmatrix)-b / a \ \ 1 \ end ({pmatrix) }< / math>, whichque canpuede besimplificarse simplified toa <math> \ begin{pmatrix} (pmatrix)-b \ \ a \ end ({pmatrix) }</ math>
Let'sBusquemos findun avector normal vectora <math> \ vec v </ math> (iees decir, perpendicular toa thela linerecta), toque bedeberá fulfilledcumplir byque theel scalarproducto productescalar <math> \ vec u \ cdot \ vec v = 0 </ math>, andy provesresulta ser <math> \ vec u = \ begin ({pmatrix)} a \ \ b \ end ({pmatrix) }</ math> (hencede ahí theel interestinterés ofde thela Cartesianecuación equationcartesiana) andy dividingal bydividirlo itspor normsu normednorma se obtiene el vector is obtainednormado < math> \ vec w = \ begin ({pmatrix)} \ frac a ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} \\ \ frac b ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} \ end ({pmatrix) }</ math> thatque definesdefine anuna algebraicmedida actionalgebraica onsobre thela linerecta (M'mM): <math> \ bar ({M'm)M} = \ vec ({M'm)M} \ cdot \ vec w </ math> <br />
TheLa distancedistancia MM 'is thees absoluteel valuevalor ofabsoluto thede measurela algebramedida algebraica: <br />
<math> M'mM = | \ bar ({M'm) M}| = | \ vec ({M'm)M} \ cdot \ vec w | = | \ begin ({pmatrix)} x - x' '\ \ y - y' \ end ({pmatrix)} \ cdot \ begin ({pmatrix)} \ frac a ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} \\ \ frac b ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} \ end ({pmatrix)} | = \ frac ({| a (x-x ') + b (y-y') |)} ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} </ math> <br />
Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica así:
As M 'belongs to D, its coordinates to verify · x' + B × y '= c then the above is simplified as follows:
<math> M'mM = \ frac ({| xax-x ax'+ by-by' |)} ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} = \ frac ({| ax + by -ax '-by' |)} ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} = \ frac ({| ax + by + c |)} ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} </ math>
InEn conclusionconclusión: TheLa distancedistancia betweenentre the''M''and y ''(D)''is es:
<center> <math> d (M, D) = \ frac ({| a \ cdot x + b \ cdot y + c |)} ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2))}} </ math> </ center>
Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del vector y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.
This is an extremely easy to remember: Divide the line by expression of the norm of the vector and put the absolute value because the distance is always positive.
* InEn theel casecaso thatque thela linerecta issea givendada bypor theel angleángulo (θ) thatque makeshace thecon x-axisel andeje de las abscisas y-intercept su ordenada al origen (b), thela formulafórmula isse simplifiedsimplifica:
: D: y = (tan θ) ·x + b ·se setspone inen Cartesianforma formcartesiana: (wsin θ) · x - (cos θ) · y + B × b·cos θ = 0, thenluego, knowingsabiendo thatque theel vector <math> \ vec u \ begin ({pmatrix)} \ mbox{sen (sin)} \ theta \\ \ cos \ theta \ end ({pmatrix) }</ math> ises unitaryunitario:
: <center> <math> d (M, D) = | (\ mbox{sen (sin)} \theta theta) \ cdot x - (\ cos \theta theta) \ cdot y + b \ cdot \ cos \ theta | </ math> </ center>
Example:Ejemplo: thela firstprimera diagonal ofdel thesistema referencede systemreferencia correspondscorresponde toa anun angleángulo <math> \ theta = \ frac ({\ pi)} 4 </ math> andy b = 0. AsComo <math> \ cos \ frac ({\ pi)} 4 = \ mbox{sen (sin)} \ frac ({\ pi)} 4 = \ frac ({\ sqrt ({2))}} 2 </ math>, se givesobtiene: <math> d ( M, D) = \ frac ({\ sqrt ({2))}} 2 \ cdot | x - y | </ math>
* InEn theel casecaso ofde auna linerecta defineddefinida bypor itssu reducedecuación equationreducida y = a · x + b; thela Cartesianecuación equationcartesiana ises a · x - y + b = 0 andy thela distancedistancia toa itella ises:
<center> <math> d (M, D) = \ frac ({| a \ cdot x - y + b |)} ({\ sqrt ({a ^ 2 +1))}} </ math> </ center>
Example:Ejemplo: TakingTomando a = 1 y b = 0, wese obtainobtiene againde thenuevo resultel ofresultado thedel previousejemplo exampleanterior.
ItSe iscalcula calculatedde inla themisma samemanera wayla thedistancia distancede ofun apunto pointy and aun planeplano inen threeel dimensionalespacio spacetridimensional: IfSi thela equationecuación ofdel theplano plane ises <math> D: a \ cdot x + b \ cdot y + c \ cdot z + d = 0 </ math>,; andy theel pointpunto ises <math> M \ begin ({pmatrix)} x \ \ andy \ \ z \ end ({pmatrix) }</ math>entonces: then:
<center> <math> d (M, D) = \ frac ({| a \ cdot x + b \ cdot y + c \ cdot z + d |)} ({\ sqrt ({a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) )}} </ math> </ center>
ThisLo generalizesanterior tose finitegeneraliza dimensionala los espacios de dimensión finita spaces''n'', andy thela distancedistancia betweenentre aun pointpunto andy aun hyperplanehiperplano (subspacesubespacio ofde dimensiondimensión ''n-1''''), addingañadiendo fewcuantas variables arehagan neededfalta.
{{EL}}
((THE))
[[Categoría:Geometría]]
[[Category: Geometry]]
[[fr: Distance d'un point à une droite]]
[[mikm: ចំងាយពីចំនុចមួយទៅបន្ទាត់]]
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