Diferencia entre revisiones de «Número racional»
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Línea 53:
* Todo número <math>\frac{p}{1}</math> se denota simplemente por <math> p \, </math>.
== Propiedades de los números racionales ==
El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un [[Cuerpo (matemática)|Cuerpo]].
=== Propiedades de la suma y multiplicación ===
* La suma en Q es conmutativa, esto es: <math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math>
* La suma en Q es asociativa, esto es: <math>\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}</math>
* La multiplicación en Q es asociativa, esto es: <math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}</math>
* La multiplicación se distribuye en la suma, esto es <math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)</math>
=== Existencia de neutros e inversos ===
* Para cualquier racional <math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{0}{1}</math> es el ''neutro aditivo'' de los racionales y se le denota por <math>0</math>.
* Para cualquier racional <math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{1}{1}</math> es el ''neutro multiplicativo'' de los racionales y se le denota por <math>1</math>.
* Cada número racional <math>\frac{a}{b}</math> tiene un inverso aditivo <math>\frac{-a}{b}</math> tal que <math>\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0</math>
* Cada número racional <math>\frac{a}{b}</math> con excepción de <math>0</math> tiene un inverso multiplicativo <math>\frac{b}{a}</math> tal que <math>\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1</math>
=== Equivalencias notables en Q ===
* <math>\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}</math> si <math>c\neq 0 </math> y <math>b\neq 0 </math>
* <math>\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}</math>
* <math>\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}</math>
* <math>\frac{0}{a}=\frac{0}{b}=0</math>, a y b ≠ 0
* <math>\frac{a}{a}=\frac{b}{b}=1</math>, a y b ≠ 0.
=== Los números enteros en Q ===
* Si <math>p</math> es un [[número entero]] entonces existe el número <math>\frac{p}{1}</math> que equivale a <math>p</math> y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define <math>\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}</math>
== Otras notaciones de números en Q ==
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