Diferencia entre revisiones de «Ecuación diferencial de Bernoulli»
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Línea 30:
===Caso particular: α = 1===
En este caso la solución viene dada por:
{{Ecuación|<math>\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C</math>|5|left}}
== Ejemplo ==
Para resolver la ecuación:
{{ecuación|
<math>\qquad xy'+y=x^4y^3</math>
|*|left}}
Se hace el [[cambio de variable]] <math>z=y^{-2}\;</math>, que introducido en {{eqnref|*}} da simplemente:
{{ecuación|<math>
y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'</math>
|**|left}}
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: <math>\frac{2y}{x};</math> se llega a:
{{ecuación|
<math>\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4</math>
||left}}
Si se sustituye {{eqnref|**}} en la última expresión y operando:
{{ecuación|
<math>-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad
z'-\frac{2z}{x}=-2x^3</math>
||left}}
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el [[factor integrante]] típico de la ecuación de Bernouilli:
{{ecuación|
<math>e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}</math>
||left}}
Y se resuelve ahora la ecuación:
{{ecuación|
<math>\left(\frac{z}{x^2}\right)' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + C_1= -x^2 + C_1</math>
||left}}
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
{{ecuación|
<math>\frac{z}{x^2} = -x^2 + C_1 \quad \Rightarrow \quad z=C_1x^2 -x^4</math>
||left}}
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue <math>z=y^{-2}\;</math>:
{{ecuación|
<math>\frac{1}{y(x)^2}=C_1x^2-x^4 \quad \Rightarrow \quad
y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{C_1x^2-x^4}}</math>
||left}}
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