Diferencia entre revisiones de «Semejanza (geometría)»

 

== Geometrías no-euclídeas ==

La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde la Grecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas, los matemáticos del [[siglo XIX]], entre ellos [[Bernhard Riemann]] y [[Nikolái Lobachevski]] se dieron cuenta que esto sólo sucedía en los espacios euclídeos, es decir, sin curvatura.

 

 

Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superfice de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus ángulos será ligéramente superior a π [[radián|radianes]] (180º), pero el triángulo A'B'C' tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π radianes, como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí claramente un cambio de forma.

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos '''y''' cocientes de los lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.