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Diferencia entre revisiones de «Problema de las doce monedas»

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Línea 1:
En el '''"problema de las doce monedas'''" se propone encontraridentificar la moneda falsa, entre un grupo de doce monedas, empleando una3 [[balanza]]pesadas de dos platillosbalanza.
 
La moneda falsa tiene un peso distinto de las otras. Hay que determinar, utilizandoy sólohay tresque pesadas, cuál es yaveriguar si esta moneda pesa más o menos que cada una de las once restantes, que son exactamente igualesotras.
 
En su versión de 12 monedas habría aparecido en [[1945]], sin que se sepa su procedencia.▼
 
El problema admite una generalización inmediata aumentando el número de monedas y de pesadas: ¿Cuál es el máximo de monedas para "n" pesadas?
 
Ofrecemos aquí dos procedimentossoluciones para solucionar eldel problema.▼
▲En su versión de 12 monedas habría aparecido en [[1945]], sin que se sepa su procedencia.
 
▲Ofrecemos aquí dos procedimentos para solucionar el problema.
 
== 1ª Solución ==
 
EstaLa primera solución, de fácil generalización para más pesadas, se explica a continuación:
 
La 1ª pesada la realizamos así:
Antes de nada se necesita conocer cuál es el número mínimo de pesadas necesarias para determinar la moneda falsa cuando ''se conoce si ésta pesa más o menos'' que el resto de monedas. Este es lo que llamaremos ''método A''.
 
Brazo derecho Brazo izquierdo Mesa▼
Sea un ejemplo con 9 monedas. Se realizan tres grupos de tres monedas cada uno y se pesa el grupo 1 frente al grupo 2:▼
1 5 9▼
* Si existe equilibrio la moneda falsa está en el grupo 3. ▼
2,3,4 6,7,8 10,11,12▼
* Si no existe equilibrio la inclinación de la balanza indica cuál de los grupos es el que tiene la moneda falsa (pues conocemos si pesa más o menos).▼
 
DeEn la 2ª pesada, anteriorrotamos quedanlos grupos de tres monedas que contiene la falsa. Se pesa la moneda A contra la moneda B:
 
Brazo derecho Brazo izquierdo Mesa▼
* Si existe equilibrio la moneda falsa es la moneda C.
1 5 9▼
* Si no existe equilibrio la inclinación de la balanza indica cuál de las monedas es la falsa (recuérdese que se conoce si pesa más o menos que las demás).
10,11,12 2,3,4 6,7,8 ▼
 
* Si la inclinación de la balanza cambia, esto identifica el grupo de tres que tiene la moneda falsa.
Este algoritmo es fácilmente generalizable a un número cualquiera de monedas.
 
* Si la inclinación de la balanza no cambia, la moneda falsa está entre las tres que no hemos rotado: 1, 5, 9.
Pesadas Monedas totales Grupos
1 3 1
2 9 3
3 27 9
... ... ...
 
Y nos queda la 3ª pesada para identificar entre 3 monedas cual es la falsa: sólo tenemos que pesar dos de ellas, pues como ya tenemos información de anteriores pesadas podemos así identificarla.
Veamos ahora el procedimiento general, con la ayuda del método A:
 
== Generalización ==
Tomamos el conjunto de doce monedas, los divido en tres grupos de 4 monedas cada uno, y dividimos cada uno de los grupos de 4 monedas en una moneda y un grupo de 3 monedas.
 
Veamos primero el método A: procedimiento cuando conocemos que la moneda pesa más (si pesa menos será análogo).
Ponemos dos grupos de 4 monedas en la balanza y dejamos el tercero fuera sobre la mesa.
Observad la situación de la balanza. Ésta es la pesada número uno.
 
▲SeaVeamos un ejemplo con 9 monedas. Se: realizanFormamos tres grupos de tres monedas cada uno y se pesa el grupo 1 frente al grupo 2:.
▲ Brazo derecho Brazo izquierdo Mesa
▲* Si existe equilibrio la moneda falsa está en el grupo 3.
▲ 1 5 9
▲* Si no existe equilibrio la inclinación de la balanza indica cuál de los grupos es el que tiene la moneda falsa (pues conocemos si pesa más o menos).
▲ 2,3,4 6,7,8 10,11,12
 
Rotad los grupos de tres moviendo el del brazo de la derecha a la mesa, el de la mesa al brazo de la izquierda y el del brazo de la izquierda al brazo de la derecha.
 
▲ Brazo derecho Brazo izquierdo Mesa
▲ 1 5 9
▲ 10,11,12 2,3,4 6,7,8
 
De la pesada anterior quedan tres monedas que contiene la falsa. Se pesa la moneda A contra la moneda B, e identificamos fácilmente cual es la falsa.
Observad la situación de la balanza. Ésta es la pesada número dos.
 
La clave de la generalización reside en el método A, y consiste en identificar
* Si la posición cambia esto identifica el grupo de tres que tiene la moneda falsa y nos dice si es más pesada o no. Utilizamos el método A para determinar en una pesada cuál es la moneda falsa.
el grupo de 3^n monedas con n pesadas: Formamos 3 grups, pesamos 2 de ellos e
identificamos el grupo problemático. Y repetimos el proceso hasta obtener una
moneda.
 
Veamos ahora el caso general:
* Si la posición no cambia es una moneda del grupo de una, nos quedamos con los grupos de una moneda y las rotamos en sus posiciones. Esto nos da la moneda falsa y si pesa más o menos.
 
EsteEl problema admite una generalización a 4 pesadas añadiendo una nueva fila de 9 monedes en cada uno de los 3 grupos: 13 monedas en cada grupo... Rotaremos los grupos de 9 monedas y razonamos igual que antes: si la posición cambia identificamos el grupo de 9 con la moneda falsa y le aplicamos el método A. Si la posición no cambia, quitamos los grupos de 9 y nuestras condiciones son ahora las del problema de 12 monedas con 3 pesadas.
 
Con 5 pesadas añadiremos otra fila más de 27 monedas en cada uno de los 3 grupos: 40 monedas en cada grupo. Y procedemos análogamente como en el caso anterior.
 
La clave de la generalización está en el método A, y consiste en identificar el grupo de 3^n monedas con n pesadas. Como estamos agregando potencias de 3 en cada paso, obtendremos la suma de una progresión geométrica:
 
3 monedas en 2 pesadas
Línea 84 ⟶ 77:
que, curiosamente, coincide con la mitad del máximo de la balanza, es decir como cada brazo de balanza.
 
Finalmente, sumamos el máximo obtenido en la mesa y en la balanza, y obtenemos otra suma de progresión geómetrica:
 
1+3+9+...+3^(n-1) + 3^n-1 = 3+9+...+ 3^(n-1) + 3^n
Línea 157 ⟶ 150:
X(n) = (3^n-3)/2. Como queríamos demostrar
 
Además, por ser X(n) suma de progresión geométrica se cumple que cada brazo y la mesa tienen las mismas monedas, pues:
 
mesa = balanza / 2
Línea 199 ⟶ 192:
Si se inclina como la 1ª pesada, está en el grupo (1,2,6).
Si no, estará en el grupo (3,4,5).
[[Categoría:Problemas matemáticos]] ▼
[[Categoría:Matemática recreativa]]
 
[[ca:Problema de les 12 monedes]]
▲[[Categoría:Problemas matemáticos]]
[[en:Counterfeit coin problem]]
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