Diferencia entre revisiones de «Coseno»
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Línea 20:
:<math>\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \; x^{2n}</math>
==Coseno de una suma o resta de ángulos==
[[Image:Vectores.PNG|thumb|right|240px|]]
===Coseno de la diferencia de dos ángulos===
Esta identidad trigonométrica se muestra a partir del [[producto escalar]] de dos vectores.
: <math>\forall\ \theta,\phi\in\mathbb{R}</math>
* Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:
: <math>\begin{cases}
\vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta \right)\\
\vec{v}\cdot\vec{u}=x_vx_u+y_vy_u\\
\end{cases}</math>
* Por igualación se define que
: <math>|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta\right)=x_vx_u+y_vy_u</math>
* Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir
: <math>x_v=|\vec{v}|\cos\phi</math>
: <math>y_v=|\vec{v}|\sin\phi</math>
* Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda
: <math>|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}|\cos\phi|\vec{u}|\cos\theta+|\vec{v}|\sin\phi|\vec{u}|\sin\theta</math>
* Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro
: <math>|\vec{v}||\vec{u}|\cos \left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}||\vec{u}|(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)</math>
* Simplificando nos queda la identidad trigonométrica
: <math>\cos\left(\phi-\theta\right)=\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta</math>
(Aunque tambien podríamos haber eliminado <math>|\vec{v}|</math> y <math>|\vec{u}|</math> en el paso 3 o 4 ya que <math>|\vec{v}|=1</math> y <math>|\vec{u}|=1</math> y cualquier número multiplicado por 1 es el propio número)
===Coseno de la suma de dos ángulos===
* Si hacemos
: <math>\cos\left(\phi-(-\theta\right))=\cos\phi\cos(-\theta)+\sin\phi\sin(-\theta)</math>
* obtenemos la resta. Como el coseno es [[función par|par]], el signo no importa y como el seno es [[función impar|impar]], el signo sale
: <math>\cos\left(\phi+\theta\right)=\cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta</math>
===Forma resumida===
: <math>\cos\left(\phi\pm\theta\right)=\cos\phi\cos\theta\mp\sin\phi\sin\theta</math>
==Coseno de un ángulo doble==
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