Diferencia entre revisiones de «Bisectriz»
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La '''bisectriz''' de un [[ángulo]] es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el [[lugar geométrico]] de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las [[semirrecta]]s de un ángulo.
== Características ==
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos
▲Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos cóncavos. Cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las dos rectas.
En la figura, la bisectriz interior al ángulo ''xOy'' (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos ''a'' la medida de ''xOz'', y ''b'' la de ''yOw'', observamos que ''2a'' + ''2b'' es la medida del ángulo'' xOx' '', que es plano. Dividimos por 2: ''zOw'' mide ''a'' + ''b'' = 90º.▼
== Aplicación en triángulos ==▼
▲<center>[[Imagen:bisectriz_interior-exterior.png]]</center>
▲En la figura, la bisectriz interior al ángulo ''xOy'' (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos ''a'' la medida de ''xOz'', y ''b'' la de ''yOw'', observamos que ''2a'' + ''2b'' es la medida del ángulo'' xOx' '', que es plano. Dividimos por 2: ''zOw'' mide ''a'' + ''b'' = 90º.
▲==Aplicación==
▲[[Imagen:Bisection construction.gif|thumb|right|200 px|Construcción gráfica con compás]]
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el [[incentro]] del triángulo y es el centro de la '''circunferencia inscrita''' al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
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Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a
== Propiedades ==
▲Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
Considere el triángulo ABC y la [[circuncentro|circunferencia circunscrita]]. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A.▼
▲[[Image:Circbisec.svg|left]]
Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: ''La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita''
▲Considere el triángulo ABC y la [[circunferencia circunscrita]]. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A.
▲Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: ''La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita'' TODOS SON PUTOS
Este hecho se usa en la discusión de la [[circunferencia de los nueve puntos]]
== Véase también ==
*[[Teorema de la bisectriz]]▼
*[[Mediatriz]]
== Enlaces externos ==
*[http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Bisectriz_de_un_ángulo Bisectriz de un ángulo, en wikiEducared]
▲[[Teorema de la bisectriz]]
▲[[Categoría:Geometría elemental]]
[[ar:منصف]]
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