Diferencia entre revisiones de «Teorema de Pitágoras»
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:<math>c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2 </math>
Con lo cual queda demostrado el teorema.
=== Demostraciones supuestas de Pitágoras ===
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras.svg|framed|<center>Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.</center>]]
Se estima que se demostró el teorema mediante [[triángulos semejantes|semejanza]] de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.<ref>Una vez descubiertos los [[número irracional|números irracionales]] esta demostración quedaba invalidada. Será [[Euclides]] el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.</ref>
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos ''a’'' y ''b’'', proyecciones en ella de los catetos ''a'' y ''b'', respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
* De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triangulos son semejantes si hay dos o mas angulos congruentes.
:<math>\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}</math>
:<math>b^2\ =\ b'c</math>
* De la semejanza entre ABC y BHC:
:<math>\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}</math>
:<math>a^2\ =\ a'c</math>
Los resultados obtenidos son el [[teorema del cateto]].
Sumando:
:<math>a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )</math>
Pero <math>\left (a'+b'\right )=\ c</math>, por lo que finalmente resulta:
:<math>a^2\ +\ b^2 =c^2</math>
[[Archivo:Triángulos semejantes b.svg|framed|<center>La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema</center>]]
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
:<math>\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r</math>
siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
:<math>S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )</math>
:<math>S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )</math>
obtenemos después de simplificar que:
:<math>\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}</math>
pero siendo <math>\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r</math> la razón de semejanza, está claro que:
:<math>\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2 </math>
Es decir, ''"la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza"''.
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
:<math>\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2 </math>
que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
:<math>\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }</math> '''(I)'''
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
:<math>\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2 </math>
:<math>\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}</math>
pero según '''(I)''' <math>\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }</math>, así que:
:<math> \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2} </math>
y por lo tanto:
:<math> b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2</math>
quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras b.svg|framed|<center>Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.</center>]]
Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados '''''a''''', '''''b''''', '''''c''''', y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados iguales:
* Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
* El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.
Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (<math>c^2</math>) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (<math>b^2+a^2</math>), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.
=== Demostración de Platón: el ''Menón'' ===
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