Diferencia entre revisiones de «Cuadrado mágico»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 189.248.72.84 a la última edición de Diegusjaimes |
|||
Línea 2:
Un '''cuadrado mágico''' es la disposición de una serie de [[número entero|números enteros]] en un cuadrado o [[matriz]] de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la '''constante mágica'''. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a ''n''², siendo ''n'' el número de columnas y filas del cuadrado mágico.
== Introducción ==
Consideremos la [[sucesión|sucesión aritmética]] 1, 2, 3, 4... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los números ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:
{| align="center" width="500px;"
|----- align="center"
| bgcolor="#ffffcc" | 1 || bgcolor="#ffffcc" | 2
| bgcolor="#ffffcc" | 3
| bgcolor="#ffffcc" | 4 || bgcolor="#ffffcc" | 5
| bgcolor="#ffffcc" | 6
| bgcolor="#ffcc66" | 7 || bgcolor="#ffcc66" | 8
| bgcolor="#ffcc66" | 9
| bgcolor="#ffcc66" | 10 || bgcolor="#ffcc66" | 11
| bgcolor="#ffcc66" | 12
| bgcolor="#ff9900" | 13 || bgcolor="#ff9900" | 14
| bgcolor="#ff9900" | 15
| bgcolor="#ff9900" | 16 || bgcolor="#ff9900" | 17
| bgcolor="#ff9900" | 18
|----- align="center"
| bgcolor="#ffffcc" | 36 || bgcolor="#ffffcc" | 35
| bgcolor="#ffffcc" | 34
| bgcolor="#ffffcc" | 33 || bgcolor="#ffffcc" | 32
| bgcolor="#ffffcc" | 31
| bgcolor="#ffcc66" | 30 || bgcolor="#ffcc66" | 29
| bgcolor="#ffcc66" | 28
| bgcolor="#ffcc66" | 27 || bgcolor="#ffcc66" | 26
| bgcolor="#ffcc66" | 25
| bgcolor="#ff9900" | 24 || bgcolor="#ff9900" | 23
| bgcolor="#ff9900" | 22
| bgcolor="#ff9900" | 21 || bgcolor="#ff9900" | 20
| bgcolor="#ff9900" | 19
|}
Resulta evidente que cualesquiera par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos desplazamos por las columnas, en la fila superior se añade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La suma es en todos los casos la de los números extremos:
:<math>n^2+1 = 36+1 = 37</math>
</table>
{| width="166px;" style="float:right; margin:0 0 0.5em 1em"
|----- bgcolor="#ffffcc" align="center"
| '''1''' || 2 || 3 || 4 || 5 || 6
|----- bgcolor="#ffcc66" align="center"
| 12 || 11 || '''10''' || 9 || 8 || 7
|----- bgcolor="#ff9900" align="center"
| 13 || 14 || 15 || 16 || '''17''' || 18
|----- bgcolor="#ff9900" align="center"
| 24 || 23 || 22 || 21 || '''20''' || 19
|----- bgcolor="#ffcc66" align="center"
| 25 || 26 || '''27''' || 28 || 29 || 30
|----- bgcolor="#ffffcc" align="center"
| '''36''' || 35 || 34 || 33 || 32 || 31
|}
Si disponemos el conjunto de números en seis filas (''ver tabla a la derecha''), fácilmente se puede apreciar que las sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los números se encuentran agrupados por pares tal y como estaban en el primer caso (compárese los pares de filas 1ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposición original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas (''n''/2), la suma será:
:<math>M_2(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}</math>
cantidad que se denomina '''constante mágica''', y que en nuestro caso es ''n''×(''n''² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = '''111'''.
{| align="center" width="500px;" border="1"
|----- align="center"
| '''Orden ''n''''' || 3 || 4 || 5 || 6
| 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13
|----- align="center"
| '''M''<sub>2 </sub>(n)''' || 15 || 34 || 65 || 111 || 175 || 260 || 369 || 505
| 671 || 870 || 1105
|}
<br clear="all" />
Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mágico, ya que al disponerse los números de forma consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (''a''-1)×n + ''a''.
Calculando la suma, sabiendo que las filas ''a'' van de 1 a ''n'':
<math>\sum_{a=1}^n (a-1){n}+a = (n+1)\sum_{a=1}^n a -\sum_{a=1}^n n = (n+1)\frac{n(1+n)}{2} - n^2=\frac{n^3+2n^2+n-2n^2}{2}=\frac{n(n^2+1)}{2}</math>
De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo el término ''i'', ''j'' de la matriz como (''i''-1)×''n'' + ''j'', y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni ''i'', ni ''j'' se repitan y varíen de 1 hasta ''n'', la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica.
Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de ''n'' números que cumplan la condición anterior es ''n''[[factorial|!]], 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas. En definitiva, siendo posible construir (''n''²)! matrices en las que ningún término se repita y existiendo al menos ''n''! (en realidad muchas más) combinaciones de números que sumen la constante mágica, se comprende intituivamente que lo que sería de [[magia]] es que con tal multitud de posibilidades fuera imposible construir cuadrados mágicos.
De orden 3 existe un único cuadrado mágico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión), en [[1693]] [[Frenicle de Bessy|Bernard Frenicle de Bessy]] estableció que hay 880 cuadrados mágicos de orden 4 [http://www.artype.de/quadrate/index.html], posteriormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5; el número de cuadrados de mayor orden se desconoce aún pero según estimaciones de [[Klaus Pinn]] y [[C. Wieczerkowski]] realizadas en [[1998]] mediante los métodos de [[método de Monte Carlo|Monte Carlo]] y de [[mecánica estadística]] existen (1,7745 ± 0,0016) × 10<sup>19</sup> cuadrados de orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) × 10<sup>34</sup> cuadrados de orden 7.
Por lo que respecta a órdenes inferiores, es evidente que de orden uno existe un único cuadrado mágico, <font style="background-color:#ffcc66"> 1 </font>, mientras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede demostrar considerando el cuadrado mágico ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' de la figura; para que tal disposición fuera un cuadrado mágico deberían cumplirse las siguientes ecuaciones (siendo ''M'' la constante mágica o cualquier cantidad, si se quiere):
{|
|----- valign="center"
|
{| align="left" width="50px;"
|----- bgcolor="#ffcc66" align="center"
| a || b
|----- bgcolor="#ffcc66" align="center"
| c || d
|}
|
:''a'' + ''b'' = ''M''
:''a'' + ''c'' = ''M''
:''a'' + ''d'' = ''M''
:''b'' + ''c'' = ''M''
:''b'' + ''d'' = ''M''
:''c'' + ''d'' = ''M''
|}
escribiendo el [[sistema de ecuaciones]] en forma matricial y buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene que es tres, mientras que el número de incógnitas es cuatro, de modo que el sistema sólo tiene la solución trivial ''a'' = ''b'' = ''c'' = ''d'' = ''M''/2 siendo imposible construir un cuadrado mágico en el que las cuatros cifras sean distintas.
<div style="float:right; padding-left:20px;"><center>[[Archivo:Magic square Lo Shu.png]]<br />
<small>''The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei)''.<br />''Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,''<br />''edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.''<br />
''Biblioteca del Congreso de los EE.UU.''</small></center>
</div>
== Historia ==
| |||